Équations irrationnelles et solutions qui ne conviennent pas

Pour prendre un bon départ.

Introduction

Voici quatre exercices pour bien comprendre pourquoi la méthode que l'on utilise pour résoudre une équation irrationnelle peut conduire à des solutions qui ne conviennent pas.

Exercice 1

Romain doit résoudre cette équation :

x = \sqrt{x + 2} + 7

Il a élevé les deux membres au carré et obtenu une nouvelle équation :

\begin{aligned} x - 7 & = \sqrt{x + 2} \\ (x - 7)^{2} & = (\sqrt{x + 2})^{2} \\ x^{2} - 14 x + 49 & = x + 2 \end{aligned}

Devra-t-il vérifier si les solutions de cette équation conviennent ?

Exercice 2

Elise doit résoudre cette équation :

\sqrt[3]{3 x - 5} + 2 = 7

Elle a élevé les deux membres au cube et obtenu une nouvelle équation :

\begin{aligned} \sqrt[3]{3 x - 5} & = 5 \\ {(\sqrt[3]{3 x - 5})}^{3} & = 5^{3} \\ 3 x - 5 & = 125 \end{aligned}

Devra-t-elle vérifier si la solution de cette équation convient ?

Exercice 3

Pour résoudre l'équation ci-dessous Alex a élevé ses deux membres au carré.

2 x - 1 = \sqrt{8 - x}

A-t-il obtenu une solution qui ne convient pas ? Si oui, laquelle ?

x =

Exercice 4

Quelle est la valeur de $d$ ‍ pour laquelle si on résout l'équation ci-dessous en élevant ses deux membres au carré on obtient la solution $x = - 1$ ‍ qui ne convient pas ?

\sqrt{8 - x} = 2 x + d

d =

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