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Cours : 4e année secondaire > Chapitre 10

Leçon 4: Équations irrationnelles

Des équations irrationnelles très simples

Google Classroom

Pour prendre un bon départ.

Introduction

Voici quelques exercices d'entraînement pour résoudre des équations avec des racines carrées.

Bien sûr !

Cette vidéo concerne les équations avec racine carrée en général et les différentes résolutions possibles.

Conteneur de vidéo Khan Academy

Intro to square-root equations & extraneous solutionsVoir la transcription de la vidéo

Et voici l'exemple de la résolution de l'équation

\sqrt{(} 5 x^{2} - 8) = 2 x

Conteneur de vidéo Khan Academy

Solving square-root equations (basic)Voir la transcription de la vidéo

Exercice 1

Résoudre l'équation :

$\sqrt{2 x - 5} = 7$ ‍

x =

Étape 1 : On élève au carré

Pour résoudre cette équation, on peut tout simplement élever au carré les deux membres de l'égalité et ainsi supprimer la racine.

$\begin{aligned} \sqrt{2 x - 5} & = 7 \\ {(\sqrt{2 x - 5})}^{2} & = 7^{2} \\ 2 x - 5 & = 49 \\ 2 x & = 54 \\ x & = 27 \end{aligned}$ ‍

Étape 2 : Vérification

Pour cela on remplace

x

par la valeur trouvée dans l'équation initiale.

On remplace

x

par

27

dans l'équation

\sqrt{2 x - 5} = 7

$\begin{aligned} \sqrt{2 x - 5} & = 7 \\ \sqrt{2 \times 27 - 5} & \overset{?}{= o u \neq} 7 \\ \sqrt{54 - 5} & \overset{?}{= o u \neq} 7 \\ \sqrt{49} & \overset{?}{= o u \neq} 7 \\ 7 & = 7 \end{aligned}$ ‍

Donc

27

est bien solution de l'équation.

Exercice 2

Résoudre l'équation :

$\sqrt{10 - 3 x} = \sqrt{2 x + 5}$ ‍

x =

Étape 1 : On élève au carré

Pour résoudre cette équation, on peut tout simplement élever au carré les deux membres de l'égalité et ainsi supprimer la racine.

$\begin{aligned} \sqrt{10 - 3 x} & = \sqrt{2 x + 5} \\ {(\sqrt{10 - 3 x})}^{2} & = {(\sqrt{2 x + 5})}^{2} \\ 10 - 3 x & = 2 x + 5 \\ 10 - 5 & = 2 x + 3 x \\ 5 & = 5 x \\ 1 & = x \end{aligned}$ ‍

Étape 2 : Vérification

Pour cela on remplace

x

par la valeur trouvée dans l'équation initiale.

On remplace

x

par

1

dans l'équation

\sqrt{10 - 3 x} = \sqrt{2 x + 5}

$\begin{aligned} \sqrt{10 - 3 x} & = \sqrt{2 x + 5} \\ \sqrt{10 - 3 \times (1)} & \overset{?}{= o u \neq} \sqrt{2 \times (1) + 5} \\ \sqrt{7} & = \sqrt{7} \end{aligned}$ ‍

Donc

1

est bien solution de l'équation.

Exercice 3

Résoudre l'équation :

$\sqrt{5 x - 4} = x - 2$ ‍

x =

Étape 1 : On élève au carré

Pour résoudre cette équation, on peut tout simplement élever au carré les deux membres de l'égalité et ainsi supprimer la racine.

$\begin{aligned} \sqrt{5 x - 4} & = x - 2 \\ {(\sqrt{5 x - 4})}^{2} & = (x - 2)^{2} \\ 5 x - 4 & = x^{2} - 4 x + 4 \\ 0 & = x^{2} - 9 x + 8 \\ 0 & = (x - 8) (x - 1) \end{aligned}$ ‍

Les solutions de cette équation sont

x = 1

x = 8

Étape 2 : Vérification

Pour cela on remplace

x

par la valeur trouvée dans l'équation initiale.

L'équation donnée est

\sqrt{5 x - 4} = x - 2

x = 8

, on obtient :

$\begin{aligned} \sqrt{5 x - 4} & = x - 2 \\ \sqrt{5 \times 8 - 4} & \overset{?}{= o u \neq} 8 - 2 \\ \sqrt{36} & \overset{?}{= o u \neq} 6 \\ 6 & = 6 \end{aligned}$ ‍

Donc

8

est bien solution de l'équation.

x = 1

, on obtient :

$\begin{aligned} \sqrt{5 x - 4} & = x - 2 \\ \sqrt{5 \times 1 - 4} & \overset{?}{= o u \neq} 1 - 2 \\ \sqrt{1} & \overset{?}{= o u \neq} - 1 \\ 1 & \neq - 1 \end{aligned}$ ‍

Donc

1

n'est pas solution de l'équation.

Conclusion

La seule solution de l'équation est

x = 8

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