Combinaisons linéaires et sous-espace vectoriel engendré

en mathématiques et surtout en algèbre linéaire tu va beaucoup entendre parler de combinaisons l'inr qu'est ce que c'est une combinaison une combinaison linéaire voilà l idée de l'idée de cette vidéo c'est vraiment de comprendre un peu à quoi ça correspond et qu'est ce qu'on peut faire avec ces combinaisons lunaire et du cou pour voir un peu de ça on va commencer par prendre des exemples donc on va prendre des vecteurs on va prendre un vecteur v1 à vecteur v2 et c'est eric staal jusqu'au vecteur vn d'accord et on va dire que tous tous ces vecteurs on va dire qu'ils sont dans chacun de ces vecteurs et dans r f par exemplaire m d'accord ou nc en entier donc ça veut dire que c'est des vecteurs colonnes avec mm ligne donc on à ccn vecteur qui appartiennent arm et l'idée de donc ces deux vecteurs j'ai pas mis ici des flèches mais c'est toujours des vecteurs l'idée d'une combinaison in her c'est de prendre en fait un vecteur qui va être une combinaison c'est à dire une somme de ces vecteurs donc v1 plus vais de plus ce tirage kvm et on va avoir ce qu'on appelle des on va multiplier à chaque fois ces vecteurs par des scanners donc on va faire c'est un x v 1 c'est plus ces deux fois v2 plus et cth kcn fois vn et l'idée c'est que ces c1 c2 jusqu'à cncc 1 jusqu'à cn ça va être des des réelles donc ils vont tous appartenir à air voilà et du coup l'idée d'une combinaison lunaire c'est ça c'est de prendre 7 ce facteur qui sera là la somme des vecteurs avec ce qu'on appelle un poids ici qui seront des réelles alors pour mieux comprendre à quoi ça correspond on va commencer par prendre un exemple donc on va prendre deux vecteurs on va prendre un vecteur un vecteur a par exemple avec tu as on va dire que assez le vecteur 1 2 ça c'est le vecteur à et on va prendre un deuxième vecteur le vecteur b et on va dire que baisser le vecteur 0 3 par exemple et alors maintenant la question c'est ça à quoi ça correspond de prendre des combinaisons linéaire de a et b alors par exemple on peut on peut commencer par choisir dénombre un peu un peu au hasard pour avoir une idée donc une une combinaison possible combinaison linéaire possible 2e année de bep c'est le vecteur par exemple 0 froid a plus plus plus zéro x b ça c'est bien un vecteur qui est une combinaison linéaire 2a et 2b et à quoi ils skient légale illégale de bus et 0 x 1 + 0 0 2 0 c'est le vecteur 0 et 0 x 2 plus 0.3 ça fait zéro donc le vecteur ça c'est ce qu'on appelle le vecteur 0 d'accord on peut noter aussi 0 avec une flèche ça c'est le vecteur le vecteur nul ce vecteur nul est bien une combinaison lunaire 2a et 2b prénom pourrait prendre on peut prendre un autre lecteur on peut dire par exemple le vecteur 3 à prendre des nombreuses à 3 a plus on va dire on va dire plutôt on va dire - donc 3 à -2 b d'accord donc ça c'est des nombreux à voir le vecteur 3 à moins de baisser bien une combinaison une aire de a et b est illégal ici un donc trois ça fait trois fois 1 3 - 2 foix 09 points 0 et au poids de 6 - 2 x 3 6 donc le vecteur 3 à moins de baisser le vecteur 3 0 et donc ça c'est aussi c'est aussi une combinaison une aire de a et b et je pourrais continuer à mettre à mettre des nombres ici je peux prendre par exemple un autre vecteur le vecteur c'est le vecteur c'est on va dire qu'il est égal à 7 2 par exemple est une combinaison linéaire du secteur a baissé c'est 3 à -2 b + 8 c'est par exemple ça c'est une combinaison linéaire de à deux baies et de ses voilà donc je peux continuer à mettre dénombre un peu un peu au hasard l'idée c'est alors pourquoi est ce qu on appelle ça une combinaison linéaire donc ils combinaisons on voit bien on combine les vecteurs v1 v2 jusqu'à vn on fait la somme et pourquoi est ce qu on dit que c'est linéaire mais l'idée c'est que ici on multiplie les vecteurs par des scanners mais on multiplie jamais les vecteurs rentrée ou d'ailleurs on n'a pas encore défini ce que ça voulait dire de multiplier des vecteurs entre eux mais par exemple si je mets vn au carré donc ça avec vn au carré ça c'est pas une combinaison linéaire parce qu'on a vn qui est multiplié par lui même il combinaison est linéaire seulement si on multiplie les vecteurs par des scolaires d'accord donc ça c'est pas il combine des en ligne r bon alors très bien maintenant comprendre un peu ce que c'est une combinaison linéaire mais alors pourquoi est-ce qu'on en parle à quoi ça sert l'idée c'est donc où maintenant là on a pris des nombreux hasard on a pris pour l'ailé c1 c2 en a pris 0 0 on appris on va oublier pour le moment on va oublier le oublier le vecteur c on a pris 3 - 2 et l'idée c'est de dire qu'elle est l'ensemble que je pourrait générer si je prenais tout l'est tous les c1 c2 cm possible donc si je change à l'infini ici s'ils changent le 3 je le change en un autre nom qui change de 2 en 1 de notre nombre qu'elle est l'ensemble que je pourrais créer alors pour voir ça on va commencer par le voir graphiquement et ensuite on verra un peu plus de façon un peu plus mathématique donc graphiquement je peur que commencer par représenter mais vecteur a et b donc assez le vecteur 1 2 du coup il est ici ça c'est mon vecteur à mon vecteur b ils m'ont vecteur b il est ici ici ça c'est mon vecteur b donc maintenant on va voir le vecteur on va représenter le vecteur 3 - 2 b donc 3 ça c'est un a2a et 3 a donc le vecteur 3a c'est celui ci ça c'est mon vecteur on a dit le vecteur 3a si je prends maintenant le vecteur levé qu'en moins de belles on va dire du coup le vecteur moins de bessat c - b et moins de bay hill est ici donc le vecteur moins de b c'est celui-ci qui est là ça moins deux fois b voilà et du coup le vecteur 3 à -2 b clément vecteur jaune donc il faut que je fasse trois à et je descends de - 2 b hop je descends jusqu'ici ça c'est moins deux baies donc le vecteur 3 à -2 b en fait ça va être mon vecteur qui va être ici ça c'est mon vecteur 3 à -2 v et du coup ce vecteur là c'est bien il combine des sanguinaires 2a et 2b alors maintenant on aurait pu prendre par exemple au lieu de prendre trois à on aurait pu prendre un point cinq à six je prends 5 à 1,5 à ça même est né ici et si je descends 2 2 b ça m'amène quelque part quelque part ici donc si je reprends maintenant ça veut dire que ce vecteur là ce vecteur l'acquis et 1,5 à moins de b c'est aussi une combinaison lunaire 2a et 2b et du coup ce qu'on commence à voir ici c'est que en fait en changeant les les coefficients de vent a et b on va parcourir on peut faire n'importe quel n'importe quels vecteurs du plan donc ce qui veut dire qu en fait l'ensemble générés par les combinaisons de linéaire 2a et 2b et ben ça va être l'ensemble du plan on peut aller n'importe quoi n'importe quel point du plan on peut l'atteindre avec une certaine combinaison l'inr 2a et 2b ce qui veut dire que l'ensemble générés par les combinaisons l'inr 2a et 2b c'est finalement cr2 voilà r2 peut être générée par des des combinaisons de lierre de a et b en fait ça on le voit assez simplement parce que si on prend donc on prend par exemple ce 1,5 ha et maintenant on applique un coefficient différentes devambez et ben quand on fait ça en fait on va pouvoir vu que b et vertical on va pouvoir parcourir toute cette ligne ici juste en gardant le coefficient de vent à un constant et en changeant le coefficient devant b bah du coup on parcourt toute cette ligne ici je pourrai faire la même chose ici et du coup en gardant le 3 et en changeant le coefficient devant b je parcourais toute cette ligne verticale ici toute cette ligne là je peux la parcourir juste en changeant coefficient de mambé et la même façon je pourrais a maintenant prendre à un coefficient pourra plus petit et parcourir encore une fois toute cette ligne verticale juste en changeant le coefficient de tomber donc ce qu'on voit bien là à paraître c'est que ben finalement j'arrive à tous ces points du plan j'arrive allez allez à les atteindre finalement avec une combinaison linéaire de fb je pourrais prendre aussi par exemple pour un coefficient négatif ou quelques à gérer dans ce sens là et à ce moment précis ici je m'arrête ici en changeant le coefficient devant b encore une fois je je je parcourais toute cette ligne verticale ici voilà et du coup ce qu'on voit apparaître si bien ce qu'on dise et c'est qu'on peut atteindre tous r2 avec des combinaisons linéaire 2a et 2b et alors ça y est une notation qui existe et qu'on va utiliser l'ensemble des combinaisons l'espace dès qu'on peut atteindre avec les combinaisons linéaire de a et b on va l'appeler le vectes de justement 2a et 2b corps on l'appelle levêque tu es en fait ce qu'on a dit ici c'est le vecteur à et 2b avec a et b qui sont ici ceux vectes il est égal ici à r2 encore l'ensemble de l'espace qu'on peut atteindre avec des combinaisons linéaire de sbc r2 et la question qu'on peut se poser maintenant c est ce que c'est vrai pour tous les vecteurs est ce que si je prends deux vecteurs au hasard est ce que le vecteur de ces deux vecteurs sera forcément égal à r2 du coup pouvoir ça on va prendre un autre exemple on va prendre deux nouveaux vecteurs on va prendre un vecteur à on va prendre un vecteur à qui vaut donc ça c'est mon vecteur à et il vaut 2,2 corps à simon vecteur à 2-2 et je prends un vecteur b je prends un vecteur b ici et mon victor b ou s'il pas très droit convecteurs b qui vaut moins de -2 donc b on a dit c'est le vecteur -2 -2 et la question que je me pose c'est quel élan semble que je peux atteindre dans des combinaisons linéaire 2a et 2b est alors pour répondre à ça du coup on va faire comme tout à l'heure si je me déplace en âge je prends par exemple de à je vais ici et fils fait moimbé maintenant ce que je vais faire c'est que je vais revenir ici donc si je fais de à - b je vais revenir ici donc finalement si je prends une combinaison linéaire de a et b parce que je veux faire c'est que j'ai uniquement me déplacer sur cette ligne ici parce que je peux je ne peux pas sortir de cette ligne en faisant des combinaisons linéaire de fb est par exemple en faisant des combinaisons de l'unr 2a et 2b je suis incapable d'atteindre ce point ici ce point là donc le vecteur ces jeux ne peut pas créer le vecteur c'est avec une combinaison lunaire 2a et 2b et si à ce moment là je vais crif le vectes levêque tu de à et de baies bleues vertes 2a et 2b ce sera maintenant ce sera cette droite ici d'accord je peux pas le 22 à et 2b ce n'est pas r2 parce que je peux pas atteindre par exemple ce point c'est uniquement cette droite ici bleus et je peux continuer si je prends par exemple vectes du vecteur 0 le vectes du vecteur 0 mon vecteur 0 il est là et si j'applique une combinaison linéaire 2 0 ça me fait un certain c'est x 0 avec c'est un scalaire ses x 0 quelles que soient les conditions ça va me donner 00 d'accord parce que si je multiplie ses parts 0 j'ai toujours obtenir 0 donc en fait le vecteur du vecteur 0 ça va être lui même ça va être le vecteur nul donc en fait levé 2 0 c'est un point c'est le vecteur 02 même façon si je me demande quel est le vecteur du demont vecteur aïssi et ben du coup encore une fois je vais aller sur ce point et je vais pouvoir me déplacer sur cette droite hi-fi d'accord avec en multipliant à part un certain coefficient qui est réelle je peux me déplacer sur cette droite ici mais par contre je ne peux pas sortir de cette droite ne peut pas atteindre un autre point du plan que cette droite donc ça veut dire que le vectes de mon vecteur à c'est cette droite là c'est cette droite qui est en vérifie donc ce qu'on a vu c'est qu'on pouvait avoir levêque de deux vecteurs qui me donnait r2 on peut avoir levêque de deux vecteurs qui ne donne une ligne droite d'accord est en fait c'est ça correspond au caoulet les deux vecteurs sont collinaires g que levêque du vecteur nul c'est lui-même le vecteur nul et puis j'ai le fait le fait que le vecteur du vecteur a donc en fait si on regarde ça correspond à tous les vecteurs c'est fois à d'accord et du coup ce mec tu me donnes une droite aussi en fait ça on aurait pu le savoir d'après le d'après la vidéo sur les sur la droite paramétrique en fait où on a vite on avait trouvé exactement le même résultat et du coup maintenant sur gan en fait les deux les deux vecteurs les plus connus donc si on descend un peu on regarde les vecteurs qui sont les vecteurs le vecteur i qui est égal à un vecteur 1 0 donc c'est ici ces vecteurs ce vecteur ici ça c'est le lecteur y est le vecteur le deuxième vecteur c'est le vecteur j le vecteur jc le vecteur 0 1 en fait le vecteur de i et ii j ça va être r2 parce qu'en fait ces deux vecteurs déjà ils sont pas que l'unef on pourra même dire qu'ils sont qui sont orthogonaux ces deux vecteurs qui sont orthogonaux alors on n'a pas encore défini ce que ce que ça veut dire orthogonale mais en fait dans le classique j'ai pas j'ai pas dessiner le vecteur réagit ici les deux vecteurs orthogonaux en fait c'est un vecteur qui sont rex en perpendiculaire qui sont à 90 degrés l'un de l'autre ici dans le cas d'un cas classique de la delà des deux dimensions et en plus ces deux vecteurs ils vont former ce qu'on appelle une base de r2 donc on n'a pas encore défini les bases mais du coup maintenant ce qu'on va pouvoir faire si on va pouvoir donner une représentation plus mathématique là on a vu visuellement ce que ça voulait dire mais on va donner une représentation mathématiques du vectes du coup si on dit on regarde le vectes de nos vecteurs de départ donc de v1 v2 jusqu'à vnc égal en fait à l'ensemble des vecteurs c'est un v1 plus ces deux v2 plus etc jusqu'à cnpn avec comme condition que les cci laisser y appartiennent tous à air et avec ici y qui doit être inférieur à n est supérieur à 1 donc le vectes des vecteurs v1 v2 jusqu'à vnc l'ensemble des vecteurs qu'on peut écrire comme une combinaison d'une rdc 1 v1 c'est de v2 plus extérieure cassé nvn avec les cci qui appartiennent à air pays qui est compris entre 1 et n et du coup ce que ça veut dire c'est en fait ça répond à la question quelle est l'ensemble des vecteurs que l'on peut écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs v1 à vienne et du coup comme disait au début ici que le vecteur de a et b il est égal à air donc avec aki est égal à 1,2 et bekele égal à 0 3 je vais maintenant je vais démontrer en fait que ça c'est vrai donc pour ça je vais écrire en dessous que donc j'avais à qui est égal à 1 2 bon vecteur à hesmond vecteur b qui est égal à 0 3 est ce que je dis quand je dis que le 22 à -b c'est égal r2c qu' il existe toujours une combinaison linéaire de fb tels que cette combinaison linéaire de a et b soit égal aux vecteurs x quel que soit le vecteur x avec x dont qui vaut ça un vecteur qu'on ne connaît pas qui vaut x1 x2 alors maintenant on va on va on va démontrer mathématiquement que ça c'est vrai du coup ce que ce que ça veut dire c'est que on a un vecteur c'est un foie a plus ces deux fois b qui est égal à mon vecteur x ça c'est ce que je veux démontrer donc si ça c'est vrai on va on va faire en bas on va écrire ce calcul sous forme de des vecteurs colonnes donc ça veut dire que c'est un fois le vecteur 1 2 plus ces deux fois le vecteur mon vecteur b qui est le vecteur 0,3 ça ça doit être égale aux vecteurs x qui aimons vecteur x1 x2 donc maintenant je peux je peut décomposer ça je peux dire que j'ai deux conditions en fait la première condition c'est que c'est un x 1 donc une fois c'est un + 0 fois ces deux +0 fois ces deux ça ségala x1 ça c'est la première condition ma deuxième condition c'est que deux fois c'est un donc ici plus ici on a trois fois ces deux cela être égal à x2 ça c'était ce qui se passe sur la première ligne ça c'est ce qui se passe sur la seconde ligne donc ici là je peux je peux enlever ici parce que 0 fois ces deux a fait ça fait zéro donc ce que j'essaie j'ai deux conditions la première c'est que c'est un légal x1 pardon à x 1 j'ai dit ça c'est ma première condition est maintenant si je multiplie cette ligne par deux et que je soustrais cette ligne à cette ligne là donc ici je vais avoir deux c1 - de c1 donc ça fait zéro donc ici de ce côté là je vais avoir juste trois fois ces deux et de ce côté de la de l'égalité je vais avoir x 2 - 2 x 1 g soustrait deux fois la première ligne donc j'ai soustrait de x1 donc la première condition c'est que c'est un est égal à x 1 la deuxième condition s'ils divisent de chaque côté par trois c'est que ces deux îles est égale à un tiers de jeu 10 x 2 - 2 6 1 donc j'ai deux conditions ici la première c'est que c'est un set égale x1 et que ces deux c'est égal un tiers 2 x 2 - 2 x 1 donc quelles que soient x1 x2 j'ai bien un c1 et c2 qui existent tels que ces infos a plus ces deux fois b soit égal à x maintenant je peux je peux vérifier sa part l'exemple si je prends par exemple mon vecteur x je veux dire qu'il est également vectrix jeudi accès le vecteur de 2 est-ce que je peux trouver à ce moment-là c1 et c2 tels que mon égalité soit vrai donc si je dis j'ai dit que c'est un à ce moment là c'est égal à iksan donc c'est un niveau 2 et c2c est égale à un tiers de 2 - 2 x 2 donc moins 4 ça veut dire que ces deux c'est égal à moins - deux tiers c2c moins deux tiers donc j'ai bien trouvé ainsi 1 et 1 c2 tels que si je fais le calcul on va on va faire un calcul tels que ce qu'on voudrait c'est que c'est un foie a plus ces deux fois b donne mon x qui vaut 2,2 donc si je fais le calcul je vais faire le calcul ici c'est à j'ai dit que ça fait deux donc ça fait deux fois 1 2 ces deux pays si j'ai dit ce témoin deux tiers donc ça fait moins 2/3 x b qui vaut 0 3 ça ça fait quoi ça me fait 2 - 0 donc ça fait deux ici ça fait 2 - 0 et ici ça fait 2 fois 2 4 - 2/3 x 3 donc ça fait moins deux ça fait 4 - 2 donc ça ça me fait bien le vecteur 2 2 voilà donc pour ce x que j'ai pris au hasard j'ai bien été capable de trouver ainsi un et 1 c2 tels que c'est un foie a plus ces deux fois b donne mon vecteur de 2 voilà j'ai vérifié par un calcul donc là j'ai bien démontré que pour tous x pour tous vecteurs x j'avais bien un c1 et 1 c2 tels que la combinaison linéaire de a et b donne ce vecteur ix donc j'ai bien démontré que le vecteur de a et b c'est bien r2