If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal

4e année secondaire

Cours : 4e année secondaire > Chapitre 10 

Leçon 6: Vecteurs en coordonnées polaires
Mathématiques
4e année secondaire
Pour aller plus loin
Vecteurs en coordonnées polaires
© 2023 Khan AcademyConditions d'utilisation (en anglais)Politique de confidentialitéUtilisation de cookies

Coordonnées polaires d'un vecteur

Google Classroom
Pour vérifier si vous avez bien compris et mémorisé.
Norme du vecteur de coordonnées (a,b)
∣∣(a,b)∣∣=a2+b2
Mesure comprise entre −90° et 90° de l'angle polaire du vecteur de coordonnées (a,b)
θ=arctan(ba)
Coordonnées cartésiennes du vecteur de norme ∣∣u→∣∣ et dont une mesure de l'angle polaire est θ
(∣∣u→∣∣cos⁡(θ),∣∣u→∣∣sin⁡(θ))

Les coordonnées polaires

Rappel : Dans un repère d'origine O, si M(a ;b) est le point tel que u→=OM→, alors le couple de coordonnées cartésiennes du vecteur u→ est le couple (a ;b).
Le vecteur u→ peut aussi être défini par sa norme et son angle polaire :
Le plan étant muni du repère (O ;i→ ;j→), si u→=OM→, la norme du vecteur u→ est la longueur OM, et son angle polaire est l'angle orienté (i→ ;OM→).
La norme du vecteur u→ est notée ||u→||.
.
.

1 : Norme d'un vecteur de coordonnées données

Le théorème de Pythagore permet d'établir que si le couple de coordonnées du vecteur u→ est (a ;b), alors
||u→||=a2+b2
Par exemple, la norme du vecteur de coordonnées (3 ;4) est 32+42=25=5.
Exercice 1.1
Quelle est la norme du vecteur u→ de coordonnées (1 ;7) ?
||u→||=

On demande soit sa valeur exacte, soit sa valeur approchée arrondie au centième.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

2 : Angle polaire d'un vecteur de coordonnées données

Pour calculer la mesure de l'angle polaire on utilise la fonction arctangente. Mais il ne faut pas oublier que quel que soit θ, tan(θ+k×180°)=tan θ et que la fonction arctangente renvoie celle de ces mesures qui est comprise entre −90° et 90° (ou entre −π/2 et π/2). Il faut donc parfois ajouter soit 180° (ou π), soit 360° (ou 2π) à la valeur de la fonction arctangente obtenue.
θ=arctan(ba)
On obtient ce résultat en utilisant les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle.

Exemple 1 : M est dans le Quadrant I

La mesure de l'angle polaire du vecteur de coordonnées (3 ;4) est :
arctan(43)≈53∘

Exemple 2 : M est dans le Quadrant IV

A la calculatrice, on obtient :
arctan(−43)≈−53∘
Pour obtenir la mesure désirée, on ajoute 360∘ :
−53∘+360∘=307∘

Exemple 3 : M est dans le Quadrant II

A la calculatrice, on obtient :
arctan(4−3)≈−53∘
Pour obtenir la mesure désirée, on ajoute 180∘.
−53∘+180∘=127∘
Exercice 2.1
Quelle est la mesure en degrés de l'angle polaire de u→=5i→+8j→ ?
θ=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
∘
La réponse doit être comprise entre 0∘ et 360∘, et arrondie au centième.

Pour vous entraîner, faites ces exercices.

Passer des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes

Le couple de coordonnées cartésiennes du vecteur u→ dont la norme est ||u→|| et dont une mesure de l'angle polaire est θ est :
(||u→||cos⁡(θ) ;||u→||sin⁡(θ))
On obtient ce résultat en utilisant les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle.
Le couple de coordonnées du vecteur de norme 2, dont une mesure de l'angle polaire est 30∘ est :
(2cos⁡(30∘) ;2sin⁡(30∘))=(3 ;1)
Exercice 3.1
u→≈( 
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
 ;
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
)
On demande des valeurs approchées arrondies au centième.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Vous souhaitez rejoindre la discussion ?

Connectez-vous
  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Andrée-Anne Lavoie
    Posté il y a il y a 4 ans. Lien direct vers le message de Andrée-Anne Lavoie «à l'exercise 2.3 pourquoi ... »
    à l'exercise 2.3 pourquoi la réponse utilise des données différentes de celles données au problème? (-10, 7) la solution devient : arctan(-9/-10)
    (4 votes)
    Default Khan Academy avatar l'avatar de l’utilisateur
  • piceratops tree style l'avatar de l’utilisateur ASSILEM666
    Posté il y a il y a un mois. Lien direct vers le message de ASSILEM666 «Bonjour Je ne trouve jama ... »
    Bonjour
    Je ne trouve jamais les mêmes résultats avec ma calculatrice je ne comprends pas comment ça se fait si quelqu'un sait m'aide. C'est une TI 82
    Par exemple pour le dernier exercice 12cos(20°) vous trouvez 11.28 et moi je trouve 4.9 et pour le sinus je trouve 10.96 au lieu de 4.1.
    Pareil pour la fonction arctan je trouve des -0.7 quand vous trouvez -34
    D'avance merci
    (1 vote)
    Default Khan Academy avatar l'avatar de l’utilisateur
    • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Elisabeth
      Posté il y a il y a un mois. Lien direct vers le message de Elisabeth «Bonjour, Ta calculatrice ... »
      Bonjour,
      Ta calculatrice utilise les radians comme mesure d'angles, au lieu des degrés.
      Le radian est une unité de mesure d'angles que tu rencontreras plus tard.
      Quand on travaille avec des fonctions trigonométriques, il faut toujours vérifier ce réglage.
      Pour régler le problème, il faut utiliser la touche "mode" et sélectionner "Degrees" au lieu de "Radians"
      (1 vote)
Vous comprenez l'anglais ? Cliquez ici pour participer à d'autres discussions sur Khan Academy en anglais.