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Contenu principal

Le calcul pas à pas de l'écart-type

Introduction

Dans cette leçon, nous allons apprendre à calculer l'écart-type « à la main ».
Dans la pratique, aucun statisticien ne calcule l'écart-type à la main. Les calculs impliqués sont quelque peu complexes, et le risque de se tromper est grand. Le calcul à la main est long. Très long. C'est pourquoi les statisticiens utilisent un tableur ou un logiciel pour faire les calculs.
Alors, pourquoi cette leçon ? Pourquoi apprendre un calcul à la main que les statisticiens ne font pas ? Parce qu'apprendre à faire des calculs à la main permet de mieux comprendre comment interpréter l'écart-type. Au lieu de considérer l'écart-type comme un nombre magique surgi d'un tableur ou d'un logiciel, nous serons en mesure d'expliquer ce nombre.

Comment calculer l'écart-type

La formule de l'écart-type est
σ, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, n, end fraction, end square root
sum signifie "somme de", x, start subscript, i, end subscript désigne une valeur de la série statistique, mu sa moyenne arithmétique et n son effectif.
Pour calculer l'écart-type, on procède ainsi :
1 - On calcule la moyenne arithmétique de la série.
2 - On calcule le carré de l'écart à la moyenne de chacune des valeurs de la série.
3 - On calcule la somme des valeurs obtenues.
4 - On divise par l'effectif de la série.
5 - On calcule la racine carrée du résultat.

Remarque

La formule concerne le calcul de l’écart type d’une population. Si on veut calculer l'écart-type d'un échantillon, il faut diviser par n, minus, 1 et non par n, n étant l'effectif de l'échantillon.
start text, σ, end text, start subscript, start text, e, with, \', on top, c, h, a, n, t, i, l, l, o, n, end text, end subscript, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, x, with, \bar, on top, close vertical bar, squared, divided by, n, minus, 1, end fraction, end square root

Le calcul étape par étape de l'écart-type : exemple

Prenons par exemple la série statistique suivante dont l'effectif est de petite taille :
6, comma, 2, comma, 3, comma, 1

1 - On calcule start color #e07d10, mu, end color #e07d10 dans square root of, start fraction, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, start color #e07d10, mu, end color #e07d10, close vertical bar, squared, divided by, 4, end fraction, end square root

mu est la moyenne arithmétique de la série.
Compléter :
mu, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

2 - On calcule les valeurs de start color #e07d10, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10 dans square root of, start fraction, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, start color #e07d10, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10, divided by, 4, end fraction, end square root

Il s'agit de calculer le carré de la valeur absolue de l'écart de chacune des valeurs de la série à la moyenne.
Par exemple, la première valeur de la série est 6 et la moyenne est 3, donc la valeur absolue de leur écart est 3. Son carré est 9.
Compléter le tableau.
x, start subscript, i, end subscriptopen vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared
69
2
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
3
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
1
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

3 - On calcule start color #e07d10, sum, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10 dans square root of, start fraction, start color #e07d10, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10, divided by, 4, end fraction, end square root

Le symbole sum signifie "somme", on calcule donc la somme des quatre valeurs obtenues à l'étape 2.
Compléter :
sum, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

4 - On calcule start color #e07d10, start fraction, sum, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, 4, end fraction, end color #e07d10 dans square root of, start color #e07d10, start fraction, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, 4, end fraction, end color #e07d10, end square root

On divise le résultat obtenu à l'étape 3 par l'effectif de la série, N.
Compléter :
start fraction, sum, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, 4, end fraction, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

5 - On calcule l'écart-type square root of, start fraction, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, 4, end fraction, end square root

C'est presque terminé ! Il faut maintenant calculer la racine carrée de la valeur obtenue à l'étape 4.
Répondre dans la case prévue.
Arrondir la réponse au centième.
start text, σ, end text, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, 4, end fraction, end square root, approximately equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Nous avons calculé l'écart-type d'une série de petite taille.

Résumé de ce que nous avons fait

Nous avons calculé l'écart-type en 5 étapes :
1 - calcul de la moyenne mu.
mu, equals, start fraction, 6, plus, 2, plus, 3, plus, 1, divided by, 4, end fraction, equals, start fraction, 12, divided by, 4, end fraction, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd
2 - Calcul du carré de la valeur absolue de l'écart de chacune des valeurs de la série à la moyenne open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared.
x, start subscript, i, end subscriptopen vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared
6open vertical bar, 6, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 3, squared, equals, 9
2open vertical bar, 2, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 1, squared, equals, 1
3open vertical bar, 3, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 0, squared, equals, 0
1open vertical bar, 1, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 2, squared, equals, 4
Steps 3, 4, and 5:
σ=i=14xiμ24=9+1+0+44=144=3,51,87\begin{aligned} \text{σ} &= \sqrt{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{4}{{\lvert x_i-\mu\rvert^2}}}{4}}= \sqrt{\dfrac{9 + 1 + 0 + 4}{4}} = \sqrt{\dfrac{{14}}{4}} \small \text{} = \sqrt{{3{,}5}}\small \text{} \approx 1{,}87 \small \text{} \end{aligned}

Á vous

Rappel de la formule :
start text, σ, end text, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, n, end fraction, end square root
Soit la série :
1, comma, 4, comma, 7, comma, 2, comma, 6
Calculer l'écart-type de la série.
Arrondir la réponse au centième.
start text, σ, end text, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

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  • orange juice squid orange style l'avatar de l’utilisateur ArLebour
    Bonjour,
    Pourquoi calcule-t-on "le carré de l'écart à la moyenne de chacune des valeurs de la série" pour devoir au final réduire l'ensemble du calcul par une racine carrée. Ça m'aurait intuitivement semblé cohérent (de manière très floue) si on avait aussi élevé n au carré ; mais ce n'est pas le cas. Pourquoi ?
    Merci
    (2 votes)
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  • piceratops seed style l'avatar de l’utilisateur Ludovic Delrez
    Ne devons-nous pas diviser par n-1 à la place de n ?
    (1 vote)
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  • leaf red style l'avatar de l’utilisateur sarra.belaid.ger
    Bonjour.
    J'ai besoin de calculer la moyenne de la moyenne et l'écart type des écarts types d'un échantillon de 15 personnes. Chaque personne a effectué une marche normale sur tapis et nous avons mesuré la longueur de pas pendant quelques minutes. Chaque personne des 15 participants a une moyenne et un écart type de sa longueur de pas. J'ai besoin de calculer la moyenne de tous les longueurs de pas de tous les participants ainsi que l'écart type de tous les écarts types des 15 participants. Comment je peux faire ceci, svp ? Merci de votre aide !
    (1 vote)
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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur mounia ig
    lorsque on obtient un résultat de l ecart type quelle est l interprétation que l on peut dire et merci d avance
    (1 vote)
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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur zougmart
    Comment calculer l equart type avec les intervales
    (0 vote)
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