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Résumé : écart-type de la population et écart-type de l'échantillon

Écart-type de la population et écart-type de l'échantillon

L'écart-type est une mesure de la dispersion d’une série statistique autour de sa moyenne.
La formule pour calculer la variance et donc l'écart-type n'est pas la même selon qu'il s'agit des données relatives à une population ou des données relatives à un échantillon.
  • Si les données ont été collectées auprès de la population, on divise la somme des carrés des écarts à la moyenne par le nombre d'individus de la population N.
  • Si les données ont été collectées auprès d'un échantillon représentatif de la population constitué de n individus, on doit diviser par n, minus, 1.
Écart-type de la population :
sigma, equals, square root of, start fraction, sum, left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, right parenthesis, squared, divided by, N, end fraction, end square root
Écart-type de l'échantillon :
s, start subscript, x, end subscript, equals, square root of, start fraction, sum, left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, x, with, \bar, on top, right parenthesis, squared, divided by, n, minus, 1, end fraction, end square root
Les différentes étapes de calcul sont les mêmes sauf la dernière où l'on divise par n, minus, 1 dans le cas d'un écart-type de l'échantillon.
Nous aborderons chaque formule étape par étape dans les exemples ci-dessous.
On divise par n, minus, 1 pour que l'écart-type de l'échantillon soit un bon estimateur de l'écart-type de la population. Pour en savoir plus, la vidéo.

Écart-type de la population

La formule de l’écart-type de la population est :
sigma, equals, square root of, start fraction, sum, left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, right parenthesis, squared, divided by, N, end fraction, end square root
Voici comment calculer l’écart-type de la population :
Étape 1 : On calcule la moyenne arithmétique de la population — mu.
Étape 2 : On calcule l'écart à la moyenne de chacune des observations. Une observation inférieure à la moyenne a un écart négatif et une observation supérieure à la moyenne a un écart positif.
Étape 3 : On calcule le carré de chaque écart.
Étape 4 : On calcule la somme des valeurs obtenues.
Étape 5 : On divise par l'effectif de la population. On obtient la variance de la population.
Étape 6 : On calcule la racine carrée du résultat.

Exemple : Écart-type de la population

Soit la série statistique des notes obtenues (sur 10) par quatre élèves au dernier contrôle de flûte :
Calculer l'écart-type de la série statistique :
6, 2, 3, 1
1 - On calcule la moyenne arithmétique de la population.
mu, equals, start fraction, 6, plus, 2, plus, 3, plus, 1, divided by, 4, end fraction, equals, start fraction, 12, divided by, 4, end fraction, equals, 3
La note moyenne est 3.
2: On calcule l'écart à la moyenne de chacune des observations.
Note : x, start subscript, i, end subscriptÉcart : left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, right parenthesis
66, minus, 3, equals, 3
22, minus, 3, equals, minus, 1
33, minus, 3, equals, 0
11, minus, 3, equals, minus, 2
3 - On calcule le carré de chaque écart.
Note : x, start subscript, i, end subscriptÉcart : left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, right parenthesisÉcart au carré : left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, right parenthesis, squared
66, minus, 3, equals, 33, squared, equals, 9
22, minus, 3, equals, minus, 1left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, squared, equals, 1
33, minus, 3, equals, 00, squared, equals, 0
11, minus, 3, equals, minus, 2left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 4
4 - On calcule la somme des valeurs obtenues.
9, plus, 1, plus, 0, plus, 4, equals, 14
5 - On divise cette somme par l'effectif de la population.
start fraction, 14, divided by, 4, end fraction, equals, 3, comma, 5
6 - On calcule la racine carrée de la valeur obtenue à l'étape 5.
square root of, 3, comma, 5, end square root, approximately equals, 1, comma, 87
L'écart-type est environ égal à 1, comma, 87.
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices Écart-type d'une série statistique.

Écart-type de l'échantillon

La formule de l’écart-type de l'échantillon  est :
s, start subscript, x, end subscript, equals, square root of, start fraction, sum, left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, x, with, \bar, on top, right parenthesis, squared, divided by, n, minus, 1, end fraction, end square root
Voici comment calculer l’écart-type de l'échantillon :
Étape 1 : On calcule la moyenne arithmétique de l'échantillon— x, with, \bar, on top.
Étape 2 : On calcule l'écart à la moyenne de chacune des observations. Une observation inférieure à la moyenne a un écart négatif et une observation supérieure à la moyenne a un écart positif.
Étape 3 : On calcule le carré de chaque écart.
Étape 4 : On calcule la somme des valeurs obtenues.
Étape 5 : On divise par l'effectif de l'échantillon diminué de 1. On obtient la variance de l'échantillon.
Étape 6 : On calcule la racine carrée du résultat.

Exemple : Écart-type de l'échantillon

On a interrogé un échantillon de 4 élèves sur le nombre de stylos qu'ils possèdent sur eux.
Calculer l'écart-type de la série statistique des nombres de stylos :
2, 2, 5, 7
1 - On calcule la moyenne arithmétique de la population.
x, with, \bar, on top, equals, start fraction, 2, plus, 2, plus, 5, plus, 7, divided by, 4, end fraction, equals, start fraction, 16, divided by, 4, end fraction, equals, 4
Le nombre moyen de crayons dans l'échantillon est de 4.
2: On calcule l'écart à la moyenne de chacune des observations.
Nombre de stylos : x, start subscript, i, end subscriptÉcart : left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, right parenthesis
22, minus, 4, equals, minus, 2
22, minus, 4, equals, minus, 2
55, minus, 4, equals, 1
77, minus, 4, equals, 3
3 - On calcule le carré de chaque écart.
Stylos : x, start subscript, i, end subscriptÉcart : left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, x, with, \bar, on top, right parenthesisÉcart au carré : left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, x, with, \bar, on top, right parenthesis, squared
22, minus, 4, equals, minus, 2left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 4
22, minus, 4, equals, minus, 2left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 4
55, minus, 4, equals, 11, squared, equals, 1
77, minus, 4, equals, 33, squared, equals, 9
4 - On calcule la somme des valeurs obtenues.
4, plus, 4, plus, 1, plus, 9, equals, 18
5 - On divise par l'effectif de l'échantillon diminué de 1.
start fraction, 18, divided by, 4, minus, 1, end fraction, equals, start fraction, 18, divided by, 3, end fraction, equals, 6
6 - On calcule la racine carrée de la valeur obtenue à l'étape 5.
square root of, 6, end square root, approximately equals, 2, comma, 45
L'écart-type est environ égal à 2, comma, 45.
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices écart type d'un échantillon et d'une population.