La moyenne vue comme le point d'équilibre

Vous avez appris à calculer la moyenne d'une série statistique en divisant la somme des valeurs par leur nombre. Dans cette leçon, la moyenne est vue comme "le point d’équilibre".

Dans ces deux premiers exemples, la moyenne est « évidente » car dans chacun des cas les valeurs de la série sont « à égale distance » de la moyenne $6$6. Voici trois autres exercices où l'on peut déterminer la moyenne sans passer par la formule, mais simplement en trouvant un nombre qui est à égale distance de toutes les valeurs de la série qui lui sont inférieures et de toutes celles qui lui sont supérieures.

$1$1 et $5$5 sont à "égale distance" de $3$3 :

Voici un cas où la moyenne est moins "évidente" :

Donc d'après ce qui précède, il est possible de déterminer la moyenne d'une série statistique sans utiliser la formule.

Idée clé : Dire que la moyenne d'une série est le point d'équilibre est une façon de dire que la somme de ses écarts aux valeurs de la série qui lui sont supérieures est égale à la somme de ses écarts aux valeurs de la série qui lui sont inférieures.

La moyenne de la série statistique $\{2,3, 5, 6\}$left brace, 2, comma, 3, comma, 5, comma, 6, right brace est $\goldD4$start color #e07d10, 4, end color #e07d10. La somme des écarts entre $4$4 et les valeurs de la série inférieures à $4$4 est égale à la somme des écarts entre $4$4 et les valeurs de la série supérieures à $4$4 : $\redD{1} + \redD{2} = \greenD{1} + \greenD{2}$start color #e84d39, 1, end color #e84d39, plus, start color #e84d39, 2, end color #e84d39, equals, start color #1fab54, 1, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, 2, end color #1fab54

Oui ! La somme des écarts entre la moyenne $\overline x$start overline, x, end overline et les valeurs supérieures à $\overline x$start overline, x, end overline est toujours égale à la somme des écarts entre la moyenne $\overline x$start overline, x, end overline et les valeurs inférieures à $\overline x$start overline, x, end overline.

Par exemple, soit la série statistique : $\{2, 3, 6, 9\}$left brace, 2, comma, 3, comma, 6, comma, 9, right brace.

La moyenne de cette série est :

La somme des écarts entre $5$5 et les valeurs inférieures à $5$5 est égale à la somme des écarts entre la moyenne $5$5 et les valeurs supérieures à $5$5 : $\redD{2} + \redD{3} = \greenD{1} + \greenD{4}$start color #e84d39, 2, end color #e84d39, plus, start color #e84d39, 3, end color #e84d39, equals, start color #1fab54, 1, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54

Une série statistique comporte quatre valeurs. Trois de ces valeurs sont $4,7$4, comma, 7 et $7$7. La moyenne de cette série est égale à $5$5. On désigne par $x$x la valeur inconnue.