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Cosinus, sinus et tangente d’angles remarquables.

Le lignes trigonométriques des angles aigus d'un triangle rectangle isocèle et celles des angles aigus d'un demi-triangle équilatéral.
En général, la calculatrice est indispensable pour trouver le sinus, le cosinus ou la tangente d'un angle, mais pas toujours.
Sans calculatrice on peut calculer la valeur exacte du sinus, du cosinus ou de la tangente d'un angle de 30, ° ou de 60, ° car ce sont les angles aigus d'un triangle rectangle particulier, le demi-triangle équilatéral. De même, on peut calculer la valeur exacte du sinus, du cosinus ou de la tangente d'un angle de 45, ° car c'est la mesure des deux angles aigus d'un triangle rectangle isocèle.

Les triangles particuliers

Le demi triangle équilatéral
Un demi triangle équilatéral est un triangle rectangle qui a un angle de 30, degrees degrés et un angle de 60, degrees degrés :
Le triangle rectangle isocèle
Un triangle rectangle isocèle est un triangle rectangle dont les deux angles aigus mesurent 45, degrees degrés :

Sinus, cosinus et tangente d'un angle de 30, degrees

On commence par l'angle de 30, degrees.
On va détailler le calcul.

Quelle est la valeur de sine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis ?

Voici comment la trouver :
1 - On fait une figure.
2 - On appelle x la longueur du plus petit côté et on écrit les longueurs de l'autre côté et de l'hypoténuse en fonction de x.
3 - On applique la définition du sinus.
sin(30)=opposeˊ hypoteˊnuse=x2x=1x2x=12\begin{aligned} \sin (30^\circ) &= \dfrac{\text{opposé }}{\text{hypoténuse}} \\\\ &= \dfrac{x}{2x} \\\\ &= \dfrac{1\maroonD{\cancel{x}}}{2\maroonD{\cancel{x}}} \\\\ &=\dfrac{1}{2}\end{aligned}
Pour ne pas faire d'erreur, il peut être utile de remplacer x par 1, x : start fraction, x, divided by, 2, x, end fraction, equals, start fraction, 1, x, divided by, 2, x, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction.
On utilise la même méthode pour calculer cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis et tangent, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis.

Calculer cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis

 

Calculer tangent, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis

 

Sinus, cosinus et tangente d'un angle de 45, degrees

On utilise la même méthode avec un angle de 45, degrees. On code les côtés d'un triangle rectangle isocèle :

Calculer cosine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis

 

Calculer sine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis

 

Calculer tangent, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

 

Sinus, cosinus et tangente d'un angle de 60, degrees

Que ce soit pour un angle de 30, degrees, un angle de 45, degrees ou un angle de 60, degrees, la méthode est la même.
Vous avez tous les éléments pour calculer le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle de 60, degrees.

Calculer cosine, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis

 

Calculer sine, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis

 

Calculer tangent, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis

 

Récapitulatif

Le tableau des valeurs du sinus, du cosinus et de la tangente des angles de 30, degrees, 45, degrees et 60, degrees :
cosine, left parenthesis, theta, right parenthesissine, left parenthesis, theta, right parenthesistangent, left parenthesis, theta, right parenthesis
theta, equals, 30, degreesstart color #1fab54, start fraction, square root of, 3, end square root, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54start color #1fab54, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54start color #1fab54, start fraction, square root of, 3, end square root, divided by, 3, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, 3, end square root, end fraction, end color #1fab54
theta, equals, 45, degreesstart color #aa87ff, start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 2, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, 2, end square root, end fraction, end color #aa87ffstart color #aa87ff, start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 2, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, 2, end square root, end fraction, end color #aa87ffstart color #aa87ff, 1, end color #aa87ff
theta, equals, 60, degreesstart color #1fab54, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54start color #1fab54, start fraction, square root of, 3, end square root, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54start color #1fab54, square root of, 3, end square root, end color #1fab54
Ce sont des valeurs qui reviennent souvent dans les exercices. Aussi est-il très utile de les connaître.
Vous pouvez les apprendre par cœur, mais cette page a dû vous convaincre que c'est facile de les retrouver !

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  • female robot grace style l'avatar de l’utilisateur Dea Boa
    Bonjour,
    dans le tableau récapitulatif il y a une petite faute de frappe, tan(30)=1/√3, sin(45)=1/√2 et cos(45)=1/√2
    je veux aussi vous remercier pour l'article, ça m'a bcp aide.
    (3 votes)
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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Alex Creanga
    Bonjour,
    pouvez vous donner la réponse et les explications pour la tangente de 30° ? Merci d'avance
    (2 votes)
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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Lala Kouaho
    Quel est le résultat de Cos2x?
    (1 vote)
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