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Arcs de cercle et conversion degrés-radians

On établit la relation de proportionnalité entre la longueur d'un arc de cercle et la mesure de l'angle qu'il intercepte. Ainsi, on introduit une nouvelle unité pour l'amplitude des angles : le radian.

Image d'un cercle par une homothétie et image d'un secteur de ce cercle par cette homothétie

Tout cercle est l'image d'un autre cercle par une suite d'isométries et d'homothéties, donc tous les cercles sont semblables. Mais tous les cercles ne sont pas superposables (ou égaux) car ils n'ont pas tous le même rayon.
Un secteur circulaire est une partie d'un disque délimitée par deux rayons. Deux secteurs circulaires sont semblables si leurs angles au centre sont égaux.
Un arc de cercle est une partie d'un cercle comprise entre deux points du cercle. Deux arcs de cercle sont semblables si leurs angles au centre sont égaux.
Le cercle de centre B est un agrandissement du cercle de centre A de coefficient 3.
Quelles caractéristiques du cercle B sont les mêmes que celles du cercle A ?
CaractéristiqueIdentique ou différente
Aire du secteur circulaire
Mesure de l'angle au centre du secteur circulaire
Rayon
Longueur de l'arc de cercle défini par le secteur circulaire
Rapport entre le périmètre du cercle et son rayon
Rapport entre la longueur de l'arc de cercle et le rayon du cercle

Raisonnement sur les rapports de longueur

Lorsque nous avons étudié les triangles rectangles, nous avons vu que, pour un angle aigu donné, le rapport longueur du côté opposé à l’anglelongueur de hypoténuse reste constant, quelles que soient les dimensions du triangle. Ce rapport définit le sinus de l'angle aigu.
Nous allons à présent étudier le rapport longueur de l’arc de cerclerayon du cercle pour un secteur circulaire d'angle donné. Pour chaque affirmation ci-dessous, essayez de répondre par vous-même avant de regarder l'explication.
Ces secteurs circulaires ont la même amplitude d'angle au centre.

Affirmations

  1. Le cercle 2 est un agrandissement du cercle 1.
  2. Si le coefficient d'agrandissement du cercle 1 au cercle 2 est k, alors r2=kr1.
  3. Dans le cercle 1, la longueur de l'arc de cercle est 1=θ360°×2πr1.
  4. De même, dans le cercle 2, la longueur de l'arc de cercle est 2=θ360°×2πr2.
  5. En remplaçant r2 par kr1, on obtient 2=θ360°×2πkr1.
  6. Donc 2=k1.
  7. On en déduit que 1r1=2r2.

Conclusion

Le rapport entre la longueur de l'arc et le rayon est le même dans deux secteurs circulaires d'angle donné, peu importe la dimension des cercles !

Un nouveau rapport et un outil pour mesurer les angles

Nous pouvons imaginer tout angle dans un cercle dont le centre est le sommet de l'angle. La mesure de l'angle en radian est égale au rapport longueur de l’arcrayon. La mesure d'un angle ne dépend pas de la longueur de ses côtés, donc du rayon.
Compléter le tableau avec la mesure en degrés et la valeur du rapport mesure de l’angle au centrerayon pour chaque fraction de cercle.
FractionMesure de l'angle au centre (degrés)Mesure de l'angle au centre (radians) θ=longueur de l’arc de cerclerayon
12
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
°
θ=
13
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
°
θ=
14
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
°
θ=

D'autres façons de décrire les radians

Un radian correspond à la mesure de l'angle au centre dont les côtés interceptent un arc de cercle dont la longueur est égale au rayon du cercle.
Les radians correspondent donc au coefficient de proportionnalité entre la longueur d'un arc de cercle et le rayon du cercle.
θ=longueur de l’arcrayonθ×rayon=longueur de l’arc
L'angle plein mesure 2π radians (un peu plus de 6 radians). Ceci est tout à fait logique, puisque le périmètre d'un cercle de rayon r vaut 2πr.

Pourquoi utiliser les radians au lieu des degrés ?

Tout comme nous choisissons différentes unités de longueur pour différents usages, nous pouvons également choisir nos unités de mesure d'angle en fonction de la situation.
Les degrés peuvent être utiles lorsque nous voulons travailler avec des nombres entiers, car plusieurs fractions usuelles d'un cercle ont des nombres entiers de degrés. Les radians peuvent simplifier les formules, en particulier lorsqu'il s'agit de trouver des longueurs d'arc.
Il existe également plusieurs autres façons de mesurer les angles, par exemple en décrivant simplement le nombre de tours complets ou en divisant un tour complet en 100 parts égales. Le plus important est de s'assurer que vous avez indiqué la mesure que vous utilisez.

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