Arcs de cercle et conversion degrés-radians

Image d'un cercle par une homothétie et image d'un secteur de ce cercle par cette homothétie

Raisonnement sur les rapports de longueur

Affirmations

1. Le cercle 2 est un agrandissement du cercle 1.

   Pourquoi ?

   Tous les cercles sont semblables ! Avec une translation suivie d'une homothétie, nous pouvons :

   • Amener, par translation, le centre $O_2$‍ du cercle $C_2$‍ au centre $O_1$‍ du cercle $C_1$‍.
   • Construire le cercle de centre $O_2$‍ et de rayon $r_2$‍ tel que $k={\displaystyle \frac{r_2}{r_1}}$‍.
2. Si le coefficient d'agrandissement du cercle 1 au cercle 2 est $k$‍, alors $r_2=k{r}_1$‍.

   Pourquoi ?

   Si la figure $F^{\prime }$‍ est l'image de la figure $F$‍ par une homothétie de rapport $k$‍, alors chaque dimension de la figure $F^{\prime }$‍ est le produit de la dimension de la figure $F$‍ par $k$‍.
3. Dans le cercle 1, la longueur de l'arc de cercle est ${\ell }_1={\displaystyle \frac{\theta }{360\mathrm{°}}}\times 2\pi r_1$‍.

   Pourquoi ?

   La longueur de la circonférence du cercle 1 vaut $2\pi r_1$‍.

   On peut diviser le périmètre du cercle en $360$‍ parts égales de longueur ${\displaystyle \frac{1}{360}}$‍. On désigne par $\theta \mathrm{°}$‍ la mesure de l'arc de cercle (mesure de l'angle au centre qu'il intercepte).

   La longueur de l'arc de cercle est donc ${\displaystyle \frac{\theta }{360\mathrm{°}}}\times 2\pi r_1$‍.
4. De même, dans le cercle 2, la longueur de l'arc de cercle est ${\ell }_2={\displaystyle \frac{\theta }{360\mathrm{°}}}\times 2\pi r_2$‍.
5. En remplaçant $r_2$‍ par $k{r}_1$‍, on obtient ${\ell }_2={\displaystyle \frac{\theta }{360\mathrm{°}}}\times 2\pi k{r}_1$‍.
6. Donc ${\ell }_2=k{\ell }_1$‍.

   Pourquoi ?

   Nous allons exprimer la longueur de l'arc ${\ell }_2$‍ en fonction de ${\ell }_1$‍ :

   $\begin{array}{rl}{\ell }_2& ={\displaystyle \frac{\theta }{360\mathrm{°}}}\times 2\pi k{r}_1\\ \\ & =k\times {\displaystyle \frac{\theta }{360\mathrm{°}}}\times 2\pi r_1& \text{Commutativité}\\ \\ & =k{\ell }_1& \text{Substitution}\end{array}$‍

   Que signifie concrètement cette égalité ?

   La longueur de l'arc ${\ell }_2$‍ est égale à $k$‍ fois la longueur de l'arc ${\ell }_1$‍.

   Le rapport entre ${\ell }_2$‍ et ${\ell }_1$‍, qui sont des longueurs d'arcs de cercles, et le rapport entre $r_2$‍ et $r_1$‍, des longueurs de segments, sont donc égaux !
7. On en déduit que ${\displaystyle \frac{{\ell }_1}{r_1}}={\displaystyle \frac{{\ell }_2}{r_2}}$‍.

   Pourquoi ?

   On peut multiplier par ${\displaystyle \frac{k}{k}}=1$‍ :

   $\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{{\ell }_1}{r_1}}& =1\times {\displaystyle \frac{{\ell }_1}{r_1}}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{k}{k}}\times {\displaystyle \frac{{\ell }_1}{r_1}}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{k{\ell }_1}{k{r}_1}}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{{\ell }_2}{r_2}}\end{array}$‍

Conclusion

Un nouveau rapport et un outil pour mesurer les angles

D'autres façons de décrire les radians

Pourquoi utiliser les radians au lieu des degrés ?