Démonstration de la formule de Héron - partie 1

alors maintenant on va essayer de démontrer la formule de héron que j'ai donnée elle dans une vidéo précédente alors je te rappelle la situation on a un triangle voilà dont on connaît la longueur des trois côtés à b et c est la formule de héron c'est une formule qui permet de calculer l'air de ce triangle en connaissant uniquement ces trois côtés donc sans connaître la hauteur alors pour l'instant ce que je sais faire moi c'est calculé la hauteur d'un triangle une fois que je connais sa base par exemple ici on va prendre on va dire que c'est la base et puis la hauteur alors la hauteur je vais la trace et voilà donc la hauteur c'est donc la droite qui part du sommet opposé à la base et qui la coupe en un angle droit d'accord voilà donc ça je vais l'appeler h cet auteur et je sais que dans ce cas là l'air de ce triangle l'ère du triangle ici c'est un demi de la base qui est je vais l'écrire en toutes lettres de la base fois la hauteur alors ici ici la base ccc le côté c'est celui que j'ai choisi comme étant la base et la hauteur eh ben c'est la longueur h que j'ai tracée ici donc l'air c'est un demi de bi foua ces 2 h fois c'est pardon de ses x h mais le problème c'est que je ne connais pas cet auteur h ici donc il faut que j'arrive à la déterminer alors pour faire ça je vais utiliser un petit truc qui est très utile et très souvent utilisé en géométrie sais que je vais introduire une autre longueur celle-ci là que je dessine en violet que je vais appeler x alors si ça c'est x6 la distance qui est ici c'est x alors la distance qui est là que je vais tracée en orange celle là est bien celle là c'est c'est moins x c'est moins x puisque là le côté total mesure c'est donc il faut que j'enlève ce x qui est là donc je trouve que cette longueur là elle est c'est moins x alors maintenant je vais utiliser la seule chose que je connaisse de dire que là j'ai deux triangles rectangles et je sais que dans un triangle rectangle le théorème de pythagore est valable donc je vais écrire ce théorème de paix de pythagore dans le premier triangle de ce côté ici alors dans ce premier triangle la g que la somme des carrés des deux côtés donc x au carré plus h au carré et bien c'est l'hypoténuse au carré c'est le carré de l'hypoténuse donc ici l'hypoténuse et a donc ça me donne que x au carré plus h au carré et bien c'est à au carré alors ensuite je peux écrire le théorème de pythagore dans le 2ème triangle deuxième triangle l'hypothénuse cb donc je vais écrire que la somme des carrés des deux côtés donc ici c'est le premier côté cc - x donc j'essaie - x au carré plus h au carré eh bien ça s'adonne l'hypoténuse au carré donc bu au carré voilà donc la g2 équation avec deux inconnues les inconnus qui sont h on se rappelle 1 h c'est le plus important c'est ce dont je ne connais pas h mais c'est le plus important parce que c'est celui que je dois réussir à connaître et puis la deuxième inconnue cx que j'ai un produite ici alors maintenant à partir de la première équation je peux trouver une expression de h je vais l'écrire ici simplement je soustrais x o car est des deux côtés donc je l'obtiens hic h au carré égale à o car est moins x au carré voilà alors j'ai ce h au carré que j'ai ici dans cette deuxième équation donc maintenant je vais réécrire cette deuxième équation mais en remplaçant h au carré par cette expression que qui m'est donnée par la première expression donc ça ça me donne alors je vais l'écrire ici c'est moins x au carré plus alors maintenant au lieu d'écrire h au carré je vais écrire à oka rémoise x car est donc plus à au carré - x vos carrés et ça ça me donne b au carré il s'adonne b au carré voilà donc maintenant je peux développer cette expression en particulier ici j'ai une bonne idée entité remarquable donc je vais la développer donc ça me donne c'est au carré - 2 x 2 cx de ces x x le double produit plus x au carré et là je verrai écrire ça mais en enlevant les parenthèses plus à au carré là je vais utiliser le violet plus à au carré - x au carré et ça ça doit être égale à b au carré voilà alors il ya déjà une première chose que je peux faire ici gx au carré - x o car est donc ça ces deux termes là ça nul et je me retrouve avec xo xo carré - 2 cx plus à au carré et galbées au carré alors je vais écrire écrire ça de cette manière en fait je vais ajouter 2 cx de chaque côté donc si j'ajoute 2 cx de ce côté ci ça va me donner il va s'annuler avec moins de cx donc il va me rester ici c'est au carré plus à au carré égale bo carré plus de ces x puisque j'ai ajouté de cx de ce côté là aussi alors maintenant je peux à partir de ça je peux continuer et transformer cette équation là pour isoler x donc je vais maintenant soustraire des deux côtés bo carré donc ça va me donner c'est au carré plus à au carré - bo carey qui sera égal à 2 c x voilà maintenant je peux divisé des deux côtés par de ces et je vais obtenir du coup c'est au carré plus à au carré - bo carrés sur deux c'est égal x voilà et donc je l'obtiens ici une expression de x en fonction des trois côtés à b et c alors cette expression 2x maintenant je peux la reporter dans l'expression 2 h au carré que j'ai ici donc ça je vais faire donc ça me donne que h au carré h au carré c'est à au carré - x au carré xo caresser le carré de tout ça donc je vais mettre les parenthèses et je vais réécrire ce terme là dans la parenthèse c'est au carré plus à au carré - b au carré le tout sur 2 c voilà donc la j'obtiens une expression de l'âge au carré donc si je veux une expression 2h va sauver tout simplement prendre la racine carrée donc ça me donne h égale racine carrée de à au carré - alors cette expression là c'est au carré plus à au carré - bo carrés sur deux c'est le tout au carré voilà donc là j'ai une expression de hache en fonction de décoter des longueurs des trois côtés à b et c alors c'est pas une expression très pratique mais quand même c'est une expression de la hauteur âge en fonction des trois donné qu'on a au début donc des trois côtés des triangles qui sont les seules données qu'on a au départ de ce problème alors maintenant je vais pouvoir réécrire l'ère du triangle je vais la réécrire l'ère du coup c'est un demi de ces fois la hauteur alors la hauteur maintenant je vais je les ai écrites ici donc je vais plutôt que de recopier je vais copier c'était cette expression là et la déplacer je vais la coller ici voilà voilà donc ça c'est une formule qui me donnent l'air du triangle en fonction des trois côtés donc si je suis dans le cas où je ne connais pas la hauteur d'un triangle mais je connais la longueur de ces trois côtés bien je peux utiliser utilisé cette formule alors c'est pas la formule de néron la formule de héron est bien plus facile à retenir que celle ci qui est compliqué mais c'est quand même une formule qui permet de calculer l'ère du triangle en fonction des trois côtés donc cette formule là c'est déjà quelque chose d'intéressant jeu on verra dans la vidéo propres et suivantes on verra comment transformer cette expression là avec des techniques d'algèbre pour arriver à la formule des ronds la formule de héron en tel qu'on l'a exprimé dans la vidéo précédente mais là je vais juste appliqué cette formule pour montrer qu'effectivement il est tout à fait utilisable quand on est dans la situation où on connaît les trois longueurs les trois côtés d un triangle alors je vais reprendre l'exemple qu'on avait utilisé dans l'app dans la vidéo précédente donc on avait un triangle qui avait un côté de longueur 9 un côté de longues heures 11 et puis le deuxième que le troisième côté parts dans de longues heures 16 donc je vais maintenant considérer que c'est ces seize je pourrais prendre n'importe lequel mais je vais considérer que c'est ces 16es je vais appliquer cette formule là alors je vais tracer un prêt pour voilà donc sinon on va plus rien comprendre donc je vais maintenant appliqué cette formule au cas de ce triangle 6 dont les côtés sont 9 11 et 16 alors l'air dans ce cas là c'est un demi x 16 x alors la racine à je vais écrire à au carré alors à ses neuf donc à au carré ça fait 81 - alors l'intérieur de cette parenthèse je vais ouvrir la parenthèse alors j'ai c'est au carré c'est au carré ça fait seize 16 au carré ses 256 c'est aux caresses a fait 256 plus à au carré ces neuf au carré donc ça fait 80 1 - b au carré b alors baissé 11 donc bu au carré c'est 121 donc moins 121 le tout divisé par deux fois 16 c'est-à-dire 32 32 je vais alors je vais continuer ici 1/2 x 16 ça fait 8 donc là j'ai huit fois racine alors je réécris la racine est ici j'ai 81 - alors l'homme ici je vais calculé déjà le numérateur 121 -81 ça fait quarante donc l'âge et 256 moins 40 ce qui ce qui fait 216 donc finalement j'ai 216 sur trente deux le tout au carré voilà bon je pourrais continuer à simplifier tout ça alors je vais maintenant je vais utiliser la calculatrice pour aller un petit peu plus vite parce que mon but c'est juste de montrer que la valeur qu'on obtient en utilisant cette formule là est la même que celle qu'on avait été obtenue en utilisant la formule de héron dans la vidéo précédente alors je vous rappelle que dans la vidéo précédente on avait trouvé que l'air ici l'air c'était 18 fois racines de cette voie là alors je vais prendre la calculatrice donc 18 fois racines de cette je ferme la parenthèse et ça me donne 47 62 disons en arrondissant au 100e donc ça je vais le noter ici ça à ses environs 47,62 canton arrondie au centième ça c'est donc la valeur que j'ai obtenus à partir de la formule de héros maintenant je vais faire le calcul en partant de cette formule si en partant de cette valeur là que j'ai déterminé ici à partir de cette formule bien plus compliqué alors ça me donne huit fois j'ouvre la parenthèse racines de j'ouvre la parenthèse elle est déjà ouverte 81 - 216 / 30 2 le tout au carré ça c'est la fraction au carré je ferme la parenthèse et je dois rajouter une une parenthèse pour fermer le calcul et le l âge obtient effectivement la même chose 47,62 35 donc j'obtiens exactement la même chose j'aurais probablement pu transformer cette écriture ici en utilisant des techniques d'algèbre pour la rue pour montrer qu'elle est exactement la même que 18 fois racines de 7,1 mais bon là c'était juste l'idée de montrer que on obtenait les mêmes valeurs avec ça avec ces deux formules had donc voilà je vais juste écrire que effectivement ça ça me donne aussi 47,62 donc voilà ça c'est une formule déjà très utile ici on va s'en tenir à ça mais dans la vidéo suivante je vais transformer cette écriture là pour là pour établir la formule de héron qu'on a vu dans la vidéo précédente