Les triangles rectangles et la trigonométrie FAQ

Les triangles rectangles particuliers sont le triangle rectangle isocèle et le demi-triangle équilatéral. Dans ces triangles, les rapports de longueur entre les côtés sont bien spécifiques.

Le triangle rectangle isocèle est aussi appelé triangle $45\mathrm{°}$‍-$45\mathrm{°}$‍-$90\mathrm{°}$‍, puisque la mesure de chaque angle aigu est de $45°$‍. Les deux côtés de l'angle droit sont de la même longueur $k$‍ et la longueur de l'hypoténuse est $k\sqrt{2}$‍. Le demi-triangle équilatéral est aussi appelé triangle $30\mathrm{°}$‍-$60\mathrm{°}$‍-$90\mathrm{°}$‍ : un de ses angles aigus mesure $60°$‍, l'autre $30°$‍. Si la longueur du plus petit côté est $l$‍, alors la longueur de l'autre côté de l'angle droit est $l\sqrt{3}$‍ et celle de l'hypoténuse est $2l$‍.

L'identification de tels triangles rectangles nous permet de déterminer les longueurs inconnues des côtés du triangle. Par exemple, si les mesures des angles d'un triangle sont $45\mathrm{°}$‍,$45\mathrm{°}$‍ et $90\mathrm{°}$‍, on reconnaît un triangle rectangle isocèle. Si la longueur d'un côté de l'angle droit est de $5$‍ unités, on sait alors que la longueur de l'autre côté de l'angle droit est de $5$‍ unités et celle de l'hypoténuse $5\sqrt{2}$‍ unités.

À vous ! Les triangles rectangles particuliers.

Le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle sont des rapports de deux des longueurs des côtés d'un triangle rectangle.

Les relations trigonométriques sont définies pour un angle. Dans les triangles rectangles, il s'agit forcément d'angles aigus. Le côté opposé à l'angle droit (le plus grand) est appelé "hypoténuse". Choisissons un des angles du triangle dont on veut exprimer un nombre trigonométrique. Le côté qui forme l'angle, et qui n'est pas l'hypoténuse, est appelé côté "adjacent" et le côté qui fait face à l'angle (qui n'est pas un côté de l'angle) est appelé côté "opposé".

Dans un triangle rectangle, on appelle sinus d'un angle aigu le rapport du côté opposé et de l'hypoténuse. Si $a$‍ est la longueur du côté opposé et $c$‍ celle de l'hypoténuse, alors le sinus de l'angle est égal à ${\displaystyle \frac{a}{c}}$‍.

Dans un triangle rectangle, on appelle cosinus d'un angle aigu le rapport du côté adjacent et de l'hypoténuse. Si $b$‍ est la longueur du côté adjacent et $c$‍ celle de l'hypoténuse, alors le cosinus de l'angle est égal à ${\displaystyle \frac{b}{c}}$‍.

Dans un triangle rectangle, on appelle tangente d'un angle aigu le rapport du côté opposé au côté adjacent. Si $a$‍ est la longueur du côté opposé et $b$‍ celle du côté adjacent, alors la tangente de l'angle est égale à ${\displaystyle \frac{a}{b}}$‍.

On utilise les abréviations "sin" pour sinus, "cos" pour cosinus et "tan" pour tangente.

Connaissant la longueur des côtés d'un triangle rectangle, on peut calculer le sinus, le cosinus ou la tangente des angles aigus.

À vous ! Calculer le sinus, le cosinus ou la tangente d'un angle d'un triangle rectangle.

On nous donne la mesure d'un angle aigu du triangle rectangle et la longueur d'un côté. On doit d'abord déterminer la formule à utiliser : celle qui contient l'angle, le côté de longueur connue et le côté dont on cherche la longueur.

Par exemple, on connaît la longueur de l'hypoténuse, la mesure d'un angle, $15°$‍, et on veut déterminer la longueur du côté opposé à cet angle. Il faut utiliser la formule du sinus, sachant que $\sin (15\mathrm{°})\approx \mathrm{0,259}$‍ :

Si l'hypoténuse a pour longueur $10$‍ centimètres, on en déduit la longueur du côté opposé :

Si nous connaissons la longueur d'un des trois côtés et la mesure d'un angle aigu, nous pouvons utiliser la formule appropriée pour trouver la longueur manquante d'un côté. La méthode est toujours la même.

À vous ! Calculer une longueur dans un triangle rectangle.

Si on veut utiliser les relations trigonométriques pour calculer la mesure d'un angle d'un triangle rectangle, il faut d'abord repérer le côté adjacent et le côté opposé à cet angle. Par exemple, si nous connaissons la longueur de l'hypoténuse et la longueur du côté opposé, nous pouvons utiliser la formule du sinus pour trouver la mesure de l'angle.

Si l'hypoténuse a pour longueur $10$‍ centimètres et le côté opposé à l'angles $5$‍ centimètres, on calcule :

Pour calculer la mesure de l'angle $\theta$‍, on peut utiliser la fonction inverse sinus de la calculatrice.

À vous ! Calculer un angle aigu d'un triangle rectangle.

Les relations trigonométriques dans le triangle rectangle ont de nombreuses applications dans le monde réel. Par exemple, nous pouvons les utiliser pour résoudre des problèmes de longueur (hauteur, distance), comme la hauteur d'un bâtiment en mesurant son ombre portée. Elle sont aussi utiles dans des domaines tels que l'arpentage, la construction et l'ingénierie.

À vous ! Des exercices concrets utilisant les relations trigonométriques.