Triangles semblables et lignes trigonométriques

bonjour dans d'autres vidéos je t'ai parlé récemment de trigonométrie à partir des triangles rectangles on a vu ce que c'était que le sinus d'un angle le cosinus d'un angle et la tangente d'un angle à partir de considérations de triangle rectangle par exemple si je considère ce triangle rectangle et que je considère cet angle là que j'appelle des tarder du coup on avait défini le sinus de cet angle teta comme étant le rapport entre le côté opposé et l'hypoténuse du triangle donc le côté opposé opposés sur l'hypothénuse voilà donc ça c'est ce qu'on a dit dans les dernières vidéos on avait trouvé une relation équivalente avec le cosinus qui était égal aux côtés adjacent sur l'hypoténuse et la tangente de l'angle d'état qui était égal aux côtés opposés sur le côté adjacent alors dans ce triangle abc le côté opposé c'est celui ci baissé je vais le faire en rose donc baisser / le côté ab qui est l'hypothénuse voilà donc finalement le sinus de l'en-but étage l'expriment par ce rapport c'est la longueur bc / la longueur ab alors dans les vidéos précédentes on a un peu passé sous silence quelque chose qui pourrait être un problème c'est qu'en fait on pourrait très bien avoir un autre triangle rectangle avec un même angle teta par exemple celui ci cède ce triangle là si tu veux je peux te le montrer regarde les superposer au premier et tu vois que j'ai bien le même angle entre le côté adjacents et l'hypothénuse donc ici j'ai bien l'angle d'état alors si je calcule le rapport entre le côté opposé et l'hypoténuse dans ce nouveau triangle je vais pouvoir écrire ça côté opposé / l'hypothénuse et bien dans ce triangle là le côté opposé c'est celui là ef et l'hypoténuse ses sept longueurs là donc dans ce triangle là si je veux calculer ce rapport eh bien je vais calculé le f / d eux alors tu vois ce que ça soulève comme problème c'est que ici j'ai une sinusite état qui s'expriment comme s'abaisser sur ab est ici ce rapport là qui donc devrait être sinus d'état et bien c'est le f sur des f alors effectivement pour que notre définition du sinus d'un angle soit cohérente il faut que les deux nombres que je calcule ici et là soient les mêmes c'est à dire que le rapport entre le côté opposé et l'hypoténuse soit toujours le même quel que soit le triangle rectangle avec un angle l'état dans lequel je me place alors ça c'est l'hypothèse qu'on a fait et dans cette vidéo ce que je vais te montrer c'est qu'en fait c'est toujours vrai dans n'importe quelle triangle rectangle qui a un angle de d'état le rapport entre le côté opposé et l'hypoténuse est toujours le même ce qui fait qu'on peut bien l'appeler sinus de l'angle d'état alors pourquoi est-ce que c'est toujours vrai mais en fait ces deux triangles là donc ils ont un angle d'état en commun de même mesure et puis ils ont tous les deux un angle droit ce qui veut dire que le troisième angle qui est ici celui là là et bien sa mesure ces 90 degrés moins d'état puis sur deux mois tu es tu as ça c'est parce que dans un triangle la somme des angles est égal à 180 degrés et si j'applique ce raisonnement ici bien je trouve que cet angle là eh bien il a aussi une valeur une mesure égale à 90 - 90° moins d'état voilà donc finalement si je prends deux raids triangle rectangle n'importe lesquels mais qui ont tous les deux cet angle teta il en fait ce sera deux triangles rectangles qui ont les trois angles de même mesure ça c'est ce qu'on appelle des triangles semblable alors ce qui est important bien comprendre c'est qu'en fait quand on a des triangles semblables eh bien ça veut dire que l'un était un agrandissement de l'autre ou bien une réduction de l'autre ici dfc un agrandissement du triangle abc alors quand je dis que le triangle dff est un agrandissement du triangle abc en fait ça veut dire quelque chose d'assez fort ça veut dire que j'ai multiplié toutes les longueurs du triangle abaissé par le même nombre pour obtenir le triangle d e et f donc en particulier cette longueur la 2e bien en fait c'est la longueur a b x un nombre on va dire par le nombre cas donc ici la longueur 2e ces quatre fois la longueur ab et puis sept longueurs l'aef et bien c'est 4 fois la longueur bck fois la longueur b c est exactement la même manière la longueur des f ck fois la longueur assez voilà ça tu peux le comprendre en me disant que si tu veut agrandir un triangle en lui gardant la même forme il faut que tu as grandi de la même manière tous les côtés parce que si tu multiplies par exemple ce côté-là par deux et celui ci par trois forcément tonte rien ne va changer de forme donc il n'aura plus les mêmes angles donc ce qui est important c'est que tous les triangles rectangles qui font un angle teta sont semblables entre eux donc maintenant on va essayer de démontrer en sachant tout ça que le rapport côté opposé sur l'hypoténuse dans le triangle d'edf et bien c'est le même rapport que celui-ci baissé sur ab alors ici leur la longueur ef on a dit que c'était quatre fois la longueur baissé 1 donc je vais écrire ça comme ça quatre fois la longueur baissé et puis au dénominateur j'ai la longueur d eux que j'ai pu exprimer comme ça c'est qu'à fois la longueur ab cas fois la longueur ab alors tu vois ici j'ai quatre fois baissé sur 4 x ab donc je peux simplifier la fraction part car le rapport parent en divisant par cas au numérateur et le dénominateur et finalement ce que j'obtiens c'est que ce rapport l'aef sur des oeufs eh bien il est égal au rapport baissé sur ab et tu vois que j'obtiens du coup effectivement le rapport qui était celui que j'avais utilisé pour définir le nombre sinus pétales sinus de l'en but et a donc finalement c'est très cohérent puisque quel que soit le triangle rectangle que je prends et qui a un angle de teta et bien le sinus de cet angle c'est le côté opposé sur l'hypoténuse et ça donne toujours la même valeur quel que soit le triangle rectangle avec un angle tête-à-queue je prends alors si tu veux on peut regarder ce qui se passe avec le cosinus de l'embl teta donc le cosinus de l'anglais état dans ce triangle là qu'on avait dit que c'était le côté adjacent sur l'hypothénuse alors le côté adjacent ici c'est assez assez que je vais m en orange donc c'est le côté assez / l'hypoténuse qui est le côté ab voilà ça c'est l'expression de ce rapport côté adjacent sur hypo tennis dans le triangle abc et maintenant si je calcule ce rapport la côte est adjacent sur hypo tennis dans le triangle de ef et bien j'obtiens que c'est alors le côté adjacent seca fois à ses quatre fois ac / l'hypoténuse qui est qu'à x ab 4 x ab et donc encore une fois ici le rapport adjacentes l'hypoténuse donne la même valeur assez surbaissé pour la tangente de l'angle teta c'est exactement la même chose la tangente de cet angle on avait dit que c'était le côté opposé / le côté adjacent donc dans le triangle abaissé sa à cbc sur ac 1 baissé sur ac ça c'est dans ce triangle abc et si je le calcul dans le triangle de f eh bien je vais écrire d'abord que c'est le côté opposé donc ef sur le côté adjacent df et donc ça c'est le f c'est à dire qu'à fois baissé / le côté adjacents qui est 4 fois assez hélas les cas se simplifient comme tout à l'heure et donc tu vois on retombe encore une fois sur nos pieds donc ça ça te montre pourquoi ces nombres la sinus de teta caussinus de teta et tangentent de teta sont effectivement lié uniquement à l'embl l'état lui-même et pas du tout aux mesures d du triangle dans lequel je les calculs