Dérivation implicite - Savoirs et savoir-faire

Pour faire le point.

Comment dériver implicitement ?

Pour calculer une dérivée de façon implicite, il faut dériver les deux membres de l'équation à deux variables (habituellement

x

y

) en considérant l'une de ces variables comme une fonction (implicite) de l'autre. On applique aussi la formule de dérivation des fonctions composées.

Soient

x

y

liées par la relation

x^{2} + y^{2} = 1

. On va considérer

y

comme une fonction (implicite) de

x

\begin{aligned} x^{2} + y^{2} & = 1 \\ \frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) & = \frac{d}{d x} (1) \\ \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (y^{2}) & = 0 \\ 2 x + 2 y \times \frac{d y}{d x} & = 0 \\ 2 y \times \frac{d y}{d x} & = - 2 x \\ \frac{d y}{d x} & = - \frac{x}{y} \end{aligned}

La dérivée de

y^{2}

est

2 y \times \frac{d y}{d x}

et non

2 y

car

y

est considérée une fonction (implicte) de

x

Pour plus d'explications sur la dérivation implicite, regardez cette vidéo.

Exercice 1

x^{2} + x y + y^{3} = 0

f^{'} (x) = ?

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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