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Démonstration que la dérivation implicite et explicite donne le même résultat

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo je voudrais qu'on compare le résultat obtenu lorsqu'on des rimes fonctions avec la méthode explicite aux résultats obtenus avec la dérivation implicite et voir si on obtient le même résultat donc par exemple on peut prendre une fonction xx x racine de y est égal à 1 c'est une fonction implicite or celle ci elle est assez facile à transformer en fonction explicite de x17 équivalent à racine de y est égal à 1 sur xxi je divise par l'ex de chaque côté ensuite j'ai lève au carré pour supprimer la racine et j' y est égal à 1 sur x au carré ce qui est équivalent à x à la puissance - 2 et si maintenant je veux dérivés aussi dérivé en fonction de x2 y ça sera égal à la dérive et en fonction de x 2 x puissance -2 et la règle des puissances on sait que da dérivés 2x puissance n cnx à la puissance n - n'a donc voilà le résultat qu'on obtient pour la dérive et de y en fonction de x6 maintenant je dérive la même fonction mais sous sa forme implicite c'est à dire qu'à partir de cette fonction x x racines de y est égal à un jeu fait directement la dérive et c'est à dire je vais faire la dérive et en fonction de x de cette fonction chaque côté a dérivé en fonction de x 2 1 je vais cette fois avoir besoin dans un premier temps de la règle des produits puisque je reconnais ici que j'ai x x racines de y donc j'ai besoin de dériver un produit de fonction dans un deuxième temps je vais avoir besoin d'utiliser la dérivation en chaîne puisque j'ai ici la racine de y c'est une fonction de y qui est déjà une fonction de l'x donc ces partis dérivation de produits la dérivée de la fonction à fois la fonction b c'est dérivés de la première fonction fois la deuxième fonction pas dériver plus la première fonction fois la dérivée de la deuxième fonction est égale ici à la dérive et d'une constante donc égale à zéro la dérive et 2 x 7 égal à 1 fois ici je garde racines de y plus et c'est ici j'avais besoin drew de la deuxième règle qu'il est dérivation en chaîne puisque ici je cherche à dériver en fonction de l'x d'une fonction de y donc je vais d'abord faire x fois la dérivée de la fonction de les grecs en fonction d'eux y fois pour passer à x à dire dérivés de y en fonction de x ça c'est la règle de la dérivation enchaîne je dérive d'abord la fonction de y en fonction salle variables y ait ensuite je dois dérives et y en fonction de x pour obtenir la dérive et en fonction de 10 toujours égal à zéro alors si je peux simplifier cette écriture une fois racing y on regarde simplement racines de y plus xx x alors la dérive et de racines de y en fonction de y c'est comme la dérive et de racines 2x en fonction de x bref rappel ici la dérive et en fonction de x2 racines de x c'est comme la dérive et en fonction de x 2 x à la puissance 1/2 c'est à dire que c'est cette fois avec la règle des puissances 1/2 de x à la puissance - 1/2 là c'est pareil pour la dérive et de racines des grecs en fonction de y 1/2 de y à la puissance - 1/2 fois toujours d'aider les grecs sur des deux x tekken à 0 et là donc tu auras reconnu ici la dérivé du grec en fonction de x c'est ce qu'on cherche donc on va résoudre cette équation pour des dieux grecs sur des 2 x je veux d'abord enlever la racine de y de chaque côté donc ici elle disparaît il meresse x x 1/2 de y à la puissance - 1/2 c'est-à-dire xx x 1/2 nos os x sur 2 x x à la puissance - 1/2 c'est à dire 1 sur racine de xx x cindy x au dénominateur fois dérivés de dire est qu'en fonction de x est égal à moins un signe de y nouvelles simplifications je peux passer ici supprimer ce facteur en multipliant par l' inverse c'est-à-dire en multipliant par deux racines de y sur x de chaque côté de légalité bien évidemment ce qui a pour effet ici donc de me débarrasser de ce facteur est d'isoler la dérive et de y en fonction de x est égal à - racines de y fois de racine y sur x parce qu'ils se simplifient y en fonction de x est égal à racine de greg fois racines de y est bien il reste juste y c'est comme racine de y au carrelet il va rester juste y est son facteur moins donc moins de y sur x voilà le résultat alors tu vas me dire mais c'est pas du tout la même chose que ce qu'on a obtenu avec la première méthode en fait c'est une petite variation d'écriture c'est parce qu'ici il nous reste encore y dans l'écriture mais si on remplace y par son expression en fonction de x qu'on a ici y/y c'est égal à x puissance man 2 donc ici ça sera égal à - 2 x x puissance - 2 / xcb gala - 2 x x puissance - 3 - 2 x puissance man 2 / x c'est encore moins un manque c'est x -3 et donc ce résultat obtenu avec la méthode implicite et bien équivalent au résultat obtenu avec la méthode explicite