Dérivée d'une fonction vectorielle

dans la dernière vidéo on avait vu ce qu'était qu'une fonction à valeur vectorielle on avait même parlé plus précisément une fonction à valeur vectorielle avec des vecteurs de positions et on avait réalisé qu'en fait c'était une autre manière de décrire une courbe paramétrique dans le plan ou dans l'espace d'ailleurs mais nous on avait fait dans le plan donc on avait défini une fonction valeur vectorielle de position qui représentait un chemin en fonction d'un paramètre t alors ce que j'aimerais bien faire dans cette vidéo c'est essayer de regarder ce que ça veut dire que dériver une fonction à valeur vectorielles et là dans ce cas là on va le faire par rapport on va dériver par rapport à notre part à m t alors pour faire sa ba je vais commencer par redéfinir une fonction à valeur vectorielle donc je vais prendre une fonction que je vais appeler comme ça air de thé donc ça c'est un vecteur en fait j'ai re définir exactement de la même manière très générale que la dernière fois dans la dernière vidéo donc ça va être x de thé dans la direction du vecteur y donc ça c'est la composante dx plus y de thé dans le sens du vecteur gic et donc la composaient y de tessé la composante selon l'accès y sont redonnés de notre vecteur alors donc ça on avait vu que ça représentait un chemin dans le plan donc on peut aussi fixer les valeurs de thé donc t on va dire que tu es varie entre les valeurs a et b voilà donc quand on définit une fonction vectorielle de cette manière là on obtient une courbe alors je vais essayer de la dessiner je vais je vais faire un dessin croquis rapides voilà donc la sémer deux axes ici c'est l'axé des x ici celle axes d y voilà et donc je vais avoir enfin cette fonction vectorielle va décrire un chemin dans le plan je vais le dessiner on va dire que ce chemin c'est quelque chose comme ça voilà par exemple et du coup alors ce point là c'est le point de départ de notre chemin donc en fait le chemin se déroule dans ce sens là non je peux faire une petite flèche et puis ce point là c'est l'extrémité de départ donc c'est l'endroit où on est pour la valeur tu est égal à alors ce point-là ses coordonnées c'est ici c'est x 2 assas et l'ap 6 et puis ici l'ordonné c'est y de à voilà et puis ensuite bon bah je fais variétés entre a et b et j'arrive à l'extrémité finale qui est ici qui a obtenu pour c'est l'endroit où on est athée et galbées alors là je peux aussi fixe placer ses coordonnées enfin je peux aussi dire quelles sont ses coordonnées ici je vais avoir la psy ce qui est x 2 b x 2 b et puis leurs données je n'ai pas fait mon axe assez long leur donner ici c'est y 2b y de b voilà bon ça c'est le chemin vers ce qu'on avait vu c'est que en fait notre fonction vectorielle elle va elle va donner donc c'est une fonction vectorielle de position tous les vecteurs son prix à partir de l'origine donc leur exprimer extrémités de départ c'est l'origine je veux pas trop révisé mais je vais quand même en parler un petit peu donc par exemple ici ce vecteur là ça c'est le vecteur r2a r2a voilà donc les extrémités finale de chaque vecteur en fait sont situés sur ce chemin c'est ce qu'on avait vu la dernière fois alors ce que je voudrais faire dans cette vidéo c'est essayer d'étudier la différence entre deux de ses vecteurs en fait d'une certaine manière on va essayer d'étudier la différence entre deux points de cette courbe alors j'ai précisé un petit peu ce que je veux faire en fait je vais fixer si je fixe je me mets ici par exemple sur la courbe donc ça c'est un certain instant t et du coup j'ai un ici un vecteur ce vecteur là celui là il va s'appeler air de thé voilà c'est on peut voir ça comme la trajectoire d'un mobile ou d'une particule au cours du temps donc à cet instant t le vecteur position demande mon mobile c'est celui ci air de thé alors ce que je vais faire maintenant c'est regarder une petite variation de l'instant t1 du paramètre tu es donc en fait je vais regarder une position tout petit peu après cette position là donc on peut dire un court instant plus tard joey place me placer par exemple ici voilà donc la j'obtiens un autre vecteur et on peut noter ce vecteur là comme ça ses airs de thé plus h ça c'est une manière de dire que et une petite variation du paramètre t on peut voir ça comme un court intervalle de temps qui est h alors il ya une caisse on peut se poser c'est comment est-ce que varie notre vecteur air de thé si on augmente le paramètre d'un tout petit d'une toute petite valeur h alors pour répondre à cette question ce qu'on doit faire c'est en fait calculer la différence r2 t + hb - air de thé - air de thé voilà ça c'est la différence entre nos deux vecteurs donc c'est la variation des vecteurs position quand le paramètre augmente d'une certaine valeur h alors ça c'est en fait la règle de chalain sur les vecteurs tout simplement en fait cette ce vecteur si il va être ça va être celui là là celui-là l'écrire ici ce vecteur là que j'ai tracée en rose ses airs de thé + hb - air de thé voilà alors ça si tu veux t'en convaincre tu peux aussi prendre les choses à l'envers et appliquer la règle de shalla ces deux vecteurs là donc ça va te faire si tu faire de tes plus ce vecteur que j'ai dessiné en violet la race et r je vais ouvrir une parenthèse r2 t + hb - air de thé est donc là tu peux très bien enlever les supprimer les parenthèses mais du coup tu vas te retrouver avec air de témoins air de thé qui va s'annuler ça et ça ça s'annule donc finalement on trouve que effectivement cette somme la somme de ces deux vecteurs l'acr de thé plus hcr de thé plus h donc voilà ça c'est la règle de l'addition de deux vecteurs en fait tu pars de l'extrémité de départ du premier vecteur tu arrives à son extrémité finale et de là tu prends le second vecteur ici r2 t + hb - air de thé et tu arrives à son extrémité finale et ça ça te décris en fait le la somme qui est donc ici ce vecteur là que j'ai dessiné en orange air de thé plus h voilà donc on a une manière d'exprimer cette différence qui est assez simple alors il ya une chose qu'on peut remarquer tout de suite c'est que on a dit au départ des vagues des vecteurs position r2 tr de thé plus sage ce sont deux secteurs position qui donc sont fixés à l'origine un parts de l'origine alors que le vecteur qu'on obtient ici quand on fait la différence c'est un vecteur qui n'est pas un vecteur de position il part pas de l'origine on va le considéré ici comme un vecteur pur et c'est un vecteur qui la mesurer la variation du vecteur position en fonction de la variation de du paramètre t alors ce qu'on peut faire maintenant c'est essayer d'exprimer cette différence là en fonction des coordonnées x de thé y de thé qu'on a ici par la définition des vecteurs position donc je vais écrire ça r2 t + hb à l'horaire de thé plus hcx de thé plus h dans le sens du vecteur y plus y de thé plus h là je ne fais rien d'autre que remplaçait utiliser cette définition de nos vecteurs position et remplace été partez plus acheter ici au moins alors je vais avoir ici le vecteur alors je vais ouvrir une parenthèse le vecteur air de tbc x de thé dans le sens du vecteur y plus y de thé dans le sens du vecteur j'y vois là alors maintenant je peux développer tous à enlever les parenthèses et puis regroupé les composantes selon le vecteur y est les composantes selon le recteur j alors selon le vecteur i je vais avoir x2 t + hb - x de thé - x2 tu es tu peux aller faire les calculs un peu plus lentement si tu veux donc ça c'est jeu mais décroche et ça c'est la composante selon le vecteur i ensuite je vais faire la même chose avec l'accord donné y on va dire un composant de ce nouveau vecteur j donc c'est y de thé + hb - y de thé et ça c'est la composante selon le recteur j'y vois là bon ça c'est vraiment j'ai juste impliquer les règles de calcul sur les vecteurs avec les vecteurs c'est à dire que quand on additionne de vecteurs on peut additionner les complets composantes selon l' axe du vecteur y selon le vecteur y est additionné les composantes selon le vecteur j1 c'est exactement ce que j'ai fait ici est donc cette expression là elle nous donne la variation de entre deux vecteurs position quand le paramètre augmente d'une certaine valeur h un ca à ce h c'est la variation de notre part à m et donc cette différence nous donne la variation du vecteur position quand le paramètre a varié de h alors je te rappelle le but que j'ai annoncé au début de la vidéo ici on va essayer de voir ce que ça veut dire que dériver une fonction valeur vectorielle ça veut dire en fait qu'on va essayer de mesurer la variation instantanée de notre vecteur position en fonction de la variation de thé alors pour faire sa ba on va procéder comme d'habitude d'abord on va ici on a une variation des abscisses et une variations désordonnées mais c'est une variation absolue donc on va commencer par ramener cette variation à la variation de du paramètre c'est à dire qu'en fait on va à les diviser cette variation par la variation du paramètre donc en fait on aura une variation moyenne entre les instant t était plus h bon souvent on note cette variation la hache la note delta t1 mais ça revient au même du coup là ce que je vais faire c'est diviser cette expression là du coup celle-ci par la variation du paramètre donc par h 1 alors je vais leur écrire ici donc là gr2 t + hb - air de thé que du coup je vais / la variation du paramètre qui est ici h et donc ça ça va me donner alors je vais prendre cette expression là et je vais / barrages partout donc j'obtiens d'abord alors je vais changer je vais prendre un jeu de couleurs différents j'obtiens d'abord x2 t + hb - x2 t / h ça c'est dans le sens du vecteur y ait cette composante la / h plus la composante d y / h donc y de thé + hb - y de thé / h ça c'est la composante dans le sens du vecteur j'y vois là là on opte on obtient l'expression en fait de la variation moyenne entre les instances du vecteur position entre les instant t était plus h alors je te rappelle que ça correspond en fait calculer une pente puisque ça revient à regarder de combien est-ce que le vecteur positions varient quand on se déplace de h1 sur la courbe donc c'est vraiment un analogue du calcul de la pente qu'on a fait dans le cas d'une fonction une seule variable réel scalaires alors ça c'est pas encore tout à fait ce qu'on veut parce que dans le cas général ça ne pas la variation instantanée du vecteur position alors comment est ce qu'il faut faire pour passer à la variation instantanée du vecteur position il ya quelque chose qui peut nous donner des idées sur fait regarder les composantes selon l'axé des x et selon l'axé des ordonnées en fait ce qu'on peut voir ici c'est que on à la variation de l'abc sera portée à la variation du paramètre est ici la variation de l'ordonnait rapporté toujours à la variation du paramètre donc ça ces deux variations de l'ap 6 de notre vecteur et ça c'est le taux de variation de l'ordonner de notre vecteur donc on peut penser à ce qu'on fait en général quand on a une fonction scalaires on calcule la limite du taux de variation quand h danse vers zéro alors c'est ce qu'on va faire ici on va prendre la limite de ce taux de variation qu'en achetant vers zéro donc je vais l'écrire ici on va calculer la limite de r2 t + hb - air de thé / h caen hb temps vers zéro qu'en achetant vers zéro et ça ça va être égal à la limite de cette expression là qu'on peut séparer en limite de la composante selon la cpt saisie selon le vecteur y est plus là qu'on la limite de la composante selon le vecteur j je vais l'écrire ici la limite ça ça va être égal à la limite quand h d'anvers 0 2 x 2 t + hb - x de thé le tout / h ça c'est dans le sens du vecteur plus la limite qu'en achetant vers zéro du taux de variation de leur donner un dock c'est y de thé + hb - y de thé / h voilà et ça c'est dans le sens du vecteur j alors cette expression là va représenter le changement instantanée de notre vecteur position quand h au canton fait tendre h vers zéro donc on va vraiment se rapprocher d'une variation instantané c'est tout à fait analogue de ce qu'on a fait dans le cas d'une fonction scanner quand on a calculé la pente de la tangente en un point donné tangente à une courbe en main pour donner c'est tout à fait analogue à ce qu'on ne cherche à faire ici le problème c'est que effectivement cette expression là et pas très compréhensible à première vue comme ça puisque on n'a jamais pris la limite d'un vecteur on sait pas très bien comme comment est-ce qu'on peut définir 7,7 la limite d'un vecteur donc cette expression là et pas si facile que ça à appréhender en tant que tel heureusement ce qui se passe de l'autre côté les beaucoup plus et en fait tout ce qui se passe de l'autre côté on sait ce que c'est on sait ce que ça veut dire alors je vais monter un petit peu si je regarde cette expression là ici eh bien ça je sais tout à fait ce que c'est c'est la limite du taux de variation de la la fonction x de tai chi est une qui est la fonction qui est la psy ce de notre vecteur mais en tout cas si je la considère comme une fonction scalaires je sais tout à fait on sait tout à fait ce que ça veut dire ce taux de variation on sait que ça va donner la la variation instantané de la fonction x 2 t et ça on sait que c'est la dérive et 2x de la fonction x donc c'est exprime de thé ce qu'on peut à ses hôtes aussi noté comme dx sur d'été voilà et de la même manière de ce qui se passe ici selon le vecteur j ai bien c'est le taux de variation de la fonction y de thé taux de variation instantané de la fonction y de thé donc de la même manière que tout à l'heure c'est en fait la dérivée de la fonction y donc c'est y prime de thé ce qu'on est aussi d y sur d'été voilà alors de ce côté là on a quelque chose qu'on ne connaît pas vraiment con c'est pas vraiment ce que c'est mais quand on regarde de l'autre côté on a une expression qui est tout à fait compréhensible pour nous puisque elle est tout à fait hériter de ce qu'on sait faire sur les fonctions scalaires alors en fait ce qu'on peut faire c'est se servir de cette de cette expression là pour définir ce que c'est que cette limite est en fait cette limite là on va l'appeler tout simplement je vais de noter ici on va dire que c'est la dérive et du vecteur position air donc on va noter comme saher prime de thé ou bien même on peut l'écrire comme ça des airs sur d'été donc c'est la variation instantanée du vecteur position par rapport aux paramètres t et donc ce vecteur dérivé on va le définir exactement comme ça on va dire que air prime de tf1 prime de thé vecteur dérivé de r et bien c'est tout simplement exprime de thé donc la dérive et de l'abc sedan lassante dans le sens horizontal 1 selon le vecteur y plus la dérive et de leur donner dans le sens de leurs données dans le sens du vecteur j'y vois là et c'est cette expression là qu'on va utiliser pour définir le vecteur dérivé de notre vecteur position donc voilà finalement on arrive à définir le vecteur un vecteur dérivé d'une fonction vectorielle bon c'est déjà c'est vraiment pas mal maintenant on va essayer de bien comprendre ce que serge effet un gros dessin je trace mais axe voilà je le fais en gros pour qu'on puisse voir bien donc ça c'est l'axé des x et ça c'est l'ex des y et puis là je vais dessiner un chemin qui va être par exemple ça voilà et je vais supposer que je suis je vais regarder la variation est ce que j'ai fait ici donc je vais me mettre à cet instant là par exemple donc j'ai ce vecteur là qui est air de thé sa cr de thé c'est un vecteur position un certain instant t certaines valeurs du paramètre t et puis je vais dessiner un autre vecteur qui va correspondre par exemple je vais me mettre ici et donc je vais avoir un vecteur est un vecteur position qui va être comme ça ça ses airs de thé plus sachant va dire donc c'est pour une certaine variation une certaine augmentation du paramètre t j'arrive ici c'est la variation ch la variation du paramètre tch donc si je regarde la différence r2 t + hb - l'air de thé on l'a vu tout à l'heure c'est ce vecteur 6 voilà ça c'est la différence entre ces deux vecteurs alors c'est tout simplement r2 t + hb - air de thé mais quand je divise par h je vais obtenir un vecteur qui va avoir une longueur plus grande puisque je suppose que achèterait petit puisque je vais le faire tendre vers zéro donc je divise par quelque chose de très petits donc la norme de ce vecteur ici quand je divise par hb je vais obtenir un vecteur plus plus long donc qui va être par exemple comme ça donc celui-là ses airs de thé + hb - air de thé / h alors quand je fais tendre h vers zéro en fait peut imaginer ce point bouger se rapprocher vers herbe verte cette position là du coup ce vecteur là en fait il va se rapprocher de la direction aurait tangente à la courbe si par exemple je me mets ici je peux faire je peux mettre une position intermédiaire pour que tu vois ça là si je suis à cet instant là là tu vois que imagine ce point se déplacer vers ce point si donc le vecteur vert va se déplacer pour finir par être considérés avec ce vecteur là donc en fait je pense que tu vois ça quand on compte ce point se déplace vers ce point là où pour la valeur t et bien la direction de ce vecteur va se rapprocher de la direction tangente et en fait pour à la limite qu'en achetant vers zéro on va obtenir vraiment un vecteur tangent denjean à la courbe comme ça et donc si ensuite je divise par h et bien je vais obtenir un vecteur d'une longueur plus grande du normes plus grande voilà mais qui sera toujours temps jean à la cour donc en fait il ya une chose qu'il faut retenir c'est que ce vecteur là ici est repris de thé donc levé leur le vecteur dérivé du vecteur r ces îles et en jean il est temps jean à la courbe voilà c'est vraiment ce qu'il faut retenir ici alors on verra plus tard que en fait la norme de ce vecteur dérivé va dépendre du de la paramétrisation ici la direction ne dépend que de la courbe elle dépend que du la forme du chemin on va dire alors que le lapin la norme va dépendre de la paramétrisation de notre courbe voilà enfin on va s'arrêter là et puis ça on le reprendra dans la prochaine vidéo