Changement de variable trigonométrique 3

ok on va calculer l'intégrale entre 3 et 4 de racines de 6x -6 au carré -5 dx tout d'abord la fonction qui a x associe racines de 6 x - 6/4 et -5 et bien définies entre dans l'intervalle 3 et 4 1 là c'est pas c'est pas le sujet donc je vais pas trouver l'ensemble de définition un l'ensemble de définition contient bien intervalle 3,4 donc donc on peut calculer l'intégrale entre 3 et 4 de cette fonction qui continue qui admet donc bien une intégrale d'accord alors maintenant comment est ce qu'on va faire on trouvait une primitive de cette fonction là c'est très très compliqué il va falloir être malin et on va essayer de transformer sans quelque chose d'intégra bhl 20 10 c j'ai dû - 6/4 et sous la racine ça va être on va céder de la trigonométrie mais le problème le problème la raison pour laquelle on voit pas une substitution trigonométriques évidence c'est le 6 x le 6 x qui a également sous la racine on aurait moins x car et -5 ou mx carré - 5 on s'en serait tiré en factory sens on aurait pu faire une substitution trigonométriques mais là avec ce 6 x on peut rien faire il existe une solution à ce problème c'est c'est ce qu'on appelle complété le carré on va transformer on va prendre le 6 x - x au carré et on va compléter en on va compléter en 1/4 et je vais je vais faire ça sur le côté une opération qu'on fait pas pas vraiment tous les jours mais qu'il est bien qu'il est qu'il est bon de faire lorsque vous avez un trinôme que vous cherchez plus ou moins le factoriser que vous voyez pas trop comment alors un regarde donc x au carré - 6 x si je prends juste le xo carré - 6 x 1 tu me diras j'ai changé les signes oui mais je vais rétablir les signes après je prends juste le xo carré - 6 x je me dis x au carré - 6 x et le début d'une identité remarquable que je connais depuis bien longtemps c'est le début d'une expression sous la forme a au carré - 2 ab plus bo carré donc c'est le début de kelly d'entités remarquable mal aussi si ces deux fois 3 donc c'est le début de xx - 3 au carré donc si j'écris comme ceux-ci xo carrément 6x et gallix moins trois quarts et ben c'est pas vrai on puisque x - 3 au carré cx au carré - 6 x + 9 donc pour que ce soit vrai il faut que j'enlève neuf donc je rajoute -9 et hélas j'obtiens une égalité qui est vrai que x au carré - 6 x 6 points 3 au carré le tout moins neuf là et comme sous la racine j'ai 6 x - x au carré eh bien ça ça va être l'opposé 6 x 11 x au carré ça va être égal à 9 - x - 3 au carré et maintenant ce que je vais faire tu t'en doutes bien c'est que je vais prendre le 6 x - x au carré qui est sous la racine qu'on m'a donné et je vais substituer 9 - x - 3 au carré et on va voir ce que ça donne donc on obtient l'intégrale entre 3 et 4 donc de racines de son substitut 9 - 6 - 3 au carré et on avait le moins 5 qui traînait aux rebelles - 5 et on n'oublie pas le dx voilà bon évidemment quand on a neuf moins cinq ont dit que ça fait 4 donc on va réécrire sa intégral entre 3 et 4 de racines de 4 - x - 3 au carré et fois des x et là on commence un petit peu mieux à voir comment faire on se dit que si on factoriser le 4 on aurait un moins quelque chose au carré sous la racine et on pourrait faire une substitution trigonométriques eh bien faisons le et disons que tout ça c'est égal à l'intégrale entre 3 et 4 de la racine carrée 2 et là je mets le 4 ans facteur sous la racine donc ça fait quatre facteurs deux parenthèses un monde x - 3 au carré sur quatre des x et 6 - 3 au carré sur quatre que je vois là sous la racine je me dis que j'aimerais bien appeler ça sinus carré x autrement dit que j'aimerais que le sinus 2x ce soit ce soit le nombre dont le carré donne x - trois sur quatre j'aimerais bien donc plutôt sinus teta on va pas on va pas remettre le même nom de variables sinon on va s'embrouiller alors j'aimerais bien donc appelé sinus et à l'expression dont le carré me d'onyx moins trois sur quatre donc sinus teta savez tout naturellement x - 3 / 2 et voilà le changement de variables qu'on va faire on va poser sinus détail gallix 3 / 2 eh ben on fait ce changement de variables tout à fait traditionnellement tout d'abord il faut exprimer x amphion en fonction de l'état pour avoir pour connaître la valeur de dx en fonction des états et ensuite je ferai exprime et états en fonction de x pour recalculer les bornes d'intégration eh bien faisons le il suffit d' isoler x pour l'exprimer en fonction de tes thaci sinus et à ses x - 3 sur deux alors xc deux fois sinus et à +3 et donc des x quand je dérive x par rapport à tes tard dx c'est deux fois la dérivée du sinus et caussinus d'état le 3 le 3 il tombe à la dérivation donc ça fait foi dit état voilà deux caussinus état des états donc je sais par quoi je vais remplacer mon dx maintenant on va s'occuper des bornes d'intégration pour ce faire il faut transformer le il faut exprimer tu étais en fonction de x il faut transformer l'égalité sinus d'état et galante et a égalé bien il suffit de prendre l'arc sinus d'état ça va être la rhk since the x-men 3 / 2 et donc combien vos états lorsque xv aux 3 combien voté à lorsque xo 4 allons-y lorsque xv au 3t tassé l'arc sinus de troyes - troyes sur deux autrement dit c'est l'arc sinus 2 0 et ça fait zéro et lorsque xv aux quatre d'état c'est l'arc sinus de 4 - 3 / 2 et l'arc sinus de 4 - 3 / 2 et bien c'est l'arc sinus de 1/2 c'est donc l'angle entre - pis sur deux épis sur deux dont le sinus vaut un demi et cet angle-là ce seul angle là il suffit si tu as un problème tu te décides de cercle unités tu le vois tout de suite seppi sur six voilà donc je verrai écrire ma nouvelle intégrale en fonction depuis sur six en fonction de tes ta pardon donc cette intégrale c'est donc l'intégrale non plus entre 3 et 4 mais comme on vient de le voir entre 0 et 6 sur 6 de quoi et bien notre dx est devenu 2 caussinus teta des têtards je vais déjà réécrire le 2 caussinus d'état et le dtn je le mettrai à la fin comme d'habitude à halle à la racine carrée qu'est ce qu'ils avaient sous la racine il y avait le 4 on ouvre la parenthèse 1 - et tout l'expression x - 3 au carré sur quatre on a tout fait pour que ce soit égale asinus cariste et a donc c'est un moins sinus car et état là je ferme la parenthèse et en dehors de leurs racines j'écris le dtk pour compléter mon intégral en voilà et ben maintenant ça ça va simplifier encore on voit par exemple que le racine de 4 ça fait 2 et le 2 x l'autre 2 j'avais ça va me donner 4 donc je vais avoir l'intégrale de 0 appuyé sur 6 2 4 ça c'est la multiplication des constantes fois caussinus teta fois ben la racine de 1 - sinus carette et à sète une identité trigonométriques bien connu la racine 13h54 nu scarlett est assez caussinus teta puisque dans notre intervalles entre 0 et 6 sur 6 le cosinus est positif donc ça c'est encore fois caussinus teta donc je peux tout simplement m'étreint une puissance de 2 4 fois caussinus carette état des états et voilà l'intégrale qui restent à calculer c'est quand même beaucoup plus simple que ce qu'on avait au départ si ce n'est que ben oui on voit pas de primitives évidente de cosinus carette état mais on voit pas de peut-être un autre changement de variables une intégration par partis n'ont ni l'un ni l'autre de marche en fait ce qui va marcher c'est se resservir d'une identité trigonométriques pour exprimer caussinus carré de teta en fonction de quelque chose dont on va savoir prendre la primitive donc donc je vais l'écrire dans un coin là sur la droite quand on a un problème avec caussinus carette et a surtout quand on veut l'intégrer c'est toujours bien de se souvenir que le cosinus carré aux sinus carré d'un angle est très liée aux caussinus ou aux sinus de l'angle double par exemple une formule qui est très utile de connaître c'est le fait que caussinus de deux états le cosinus de deux fois l'anglais et à ses co sinus teta caussinus 40 est à - sinus car et et a donc il ya un lien entre le quart et des fonctions trigonométriques et les fonctions trigonométriques de l'angle double et maintenant si dans cette expression la droite de mon signe égal je prends sinus carette états et veut le remplace par un - caussinus au karité ta bunge obtient que ça fait que sinus aux 40 est à - 1 - caussinus au carré des états et après ouverture des parenthèses j'obtiens que le cosinus de deux états ces deux caussinus 40 est à - 1 à lyon et ça c est ça c'est très utile parce que en faisant passer le l'un de l'autre côté qu'est ce que j'obtiens j'obtiens que deux caussinus carette et à ses seins plus caussinus de teta j'ai réussi à exprimer 2 caussinus car était assis je voulais caussinus karité tu as tout seul je peux divisé par deux mais là ça va me suffire parce que si je regarde dans mon intégral dans mon intégral g4 caussinus carette et a donc quatre caussinus carré d'as avec le double de ce que j'ai obtenu la dompte qui travaillent de sur les identités trigonométriques 4 caussinus carette état je vais tout voir tout simplement le remplacer par deux + 2 caussinus deux états le double de ce que j'ai trouvé et donc prendre l'intégrale entre 0 à pipi sur 6 de ce même 2 + caussinus de teta fois d etat qu elle l avantage de ça ben ça on peut en trouver une primitive tout simplement voilà ça qu'on veut même trouvé une primitif tout de suite pour preuve on ouvre un crochet donc une primitive heures en fonction de la variable d'état d'état donc la primitive de la constante de ces deux états et quand je regarde deux caussinus de deux états je reconnais la dérive est tout simplement de sinus de teta salle la primitive de sa ses sinus des deux états 1 je peux je pouvais aussi le faire en disant que la la primitive du caussinus elle sinus et je dérive par le coefficient directeur de la fonction qui est à l'intérieur ça c'est n'importe quelle technique te donnera facilement qu'une primitive de deux caussinus de teta ses sinus deux états et donc ceux ci à prendre entre 0 et 6 sur 6 voilà donc on a pratiquement terminé il suffit de faire la différence on va remarquer c'est bien pratique que quand on remplace t ta part 0 tous vos héros donc en fait on n'a même pas besoin remplacer teta par zéro la valeur de cette intégrale c'est la valeur de la primitive que j'ai entre crochets évalué en pis sur six donc allons-y un nom remplace tea-party sur 6 on obtient deux fois puis sur 6 ce qui me donne pis sur trois et sinus 2 2 et à ses sinus de deux fois puis sur six donc le sinus de pi sur trois est sinueuse de pi sur 3g est une valeur à connaître ses racines de 3 sur deux donc ça me donne comme valeur de mon intégral puis sur trois plus racine de 3 sur deux