Inversion d'une matrice 3x3 par la méthode du pivot de Gauss

alors ici on va voir une deuxième façon d'inverser une matrice par exemple de taille 3 3 c'est ce qu'on appelle le pivot de gosse ou l'élimination de go ce jardin c'est une deuxième méthode qui est aussi importante de connaître puisque les allées assez facile à utiliser encore une fois ici je vais présenter la technique puisque c'est quelque chose de relativement facile à effectuer est la véritable démonstration mathématique ça c'est quelque chose qui viendra un peu après pour l'instant ce qui compte c'est de savoir s'en servir alors c'est parti donc on a notre matrice ici de taille 3 3 on va commencer par créer la matrice augmenté donc qu'est ce que c'est que cette matrice augmenté je vais faire un trait de séparation verticale est en fait je vais simplement dessinée de l'autre côté la matrice identité de même taille donc la matrice identité ici de taille 3 donc voilà notre matrice augmenter et donc ce qu'on va faire dessus et donc ce qu'on va faire ici c'est un certain nombre d'opérations élémentaires sur les lignes et à chaque fois qu'on va effectuer une opération pour modifier la matrice de gauche eh bien on va faire exactement la même opération pour modifier celle de droite et lorsque après avoir effectué ces opérations on va pouvoir obtenir la matrice identité à gauche et bien la matrice qui aura subi les mêmes transformations à droite sera elle bien la matrice inverse on cherche à trouver et donc pour employer le jargon 1 lorsqu'on nous lorsqu'on effectue cette méthode dite du pivot de gosse sur une matrice est bien dans ce cas là on dit le résultat correspond à la forme échelonné réduite donc ici les opérations élémentaires qu'on va faire sur les lignes ça va être par exemple multiplié par un nombre ça va être par exemple ajusté au soustraire faire des combinaisons linéaire des lignes de cette matrice et l'on est donc là tu vois apparaître l'analogie avec les systèmes d'équations linéaires puisque par exemple pour résoudre un système mondial de 2 équation à deux inconnues bien on peut faire une combinaison linéaire des deux équations à pour trouver les inconnues qui nous intéresse ici c'est un peu la même chose donc on va pouvoir multiplier chaque ligne par un nom additionnés aux soustraire les lignes entre elles et à votre opération élémentaire importante qu'on peut faire aussi bien s'est échangé deux lignes entre elles à chaque fois on va faire la même opération sur la matrice identité sachant que le but c'est bien sûr d'obtenir la maîtrise identité à gauche ici c'est à dire d'obtenir que d 1 sur la diagonale est donc lorsqu'on applique le pivot de gosses c'est à dire cette technique que je viens d'écrire sur une matrice et bien on a on obtient sa forme dite échelonné réduite alors pour que tout ça soit un peu plus concret mais on va commencer directement et puis tu vas voir et comprendre un peu mieux au fur et à mesure cette méthode du pivot de gosse alors ce que je vais faire ici pour me rapprocher de l'identité bah je vais déjà essayer de supprimer ce 1 ici en bas à gauche puisque dans une matrice identité on aurait un zéro ici je vais pas changer les deux premières lignes donc on garde 1 0 1 0 2 1 de la même façon on ne change pas les premières lignes sur la matrice identité par contre sur cette dénia dernière ligne je vais par exemple faire ligne 3 - ligne une ça va nous faire apparaître un zéro ici parce qu'on a 1 - 1 ici on a 1 - 0 ça fait toujours un et ici on a 1 - 1 ça fait zéro bien sûr je dois appliquer exactement la même opération sur la matrice identité a droit donc je vais faire dernière ligne - première ligne je me donne moins 1 0 1 alors je vais écrire ici pour passer de la première la deuxième matrix on a fait tout simplement la ligne 3 est égale à la ligne 3 - la ligne une ensuite on va passer à l'étape suivante donc étape suivante qu'est ce qui pourrait être intéressant mais là on voit que ici cette ligne 010 ça correspond à la ligne du milieu d'une matrice identité donc on va tout simplement échanger nos lignes 2 et ligne 3 donc on va faire l'opération qui nous dit ligne 2 égale lignes 3 et ligne 3 égale ligne 2 donc la première ligne restent inchangées 1 0 un pareil ici un 0-0 ensuite on change la deuxième et la troisième ligne donc ça va nous donner 0 1 0 0 2 1 et ici on change ici aussi donc moins 1 0 1 0 1 0 là on continue pour toujours se rapprocher plus de cette matrice identité à gauche donc ici qu'est ce que je peux faire encore comme opération j'aimerais bien faire disparaître ce 2 pour me rapprocher la matrice identité donc je vais par exemple faire l 3 la troisième ligne qui est égal à on va dire l 3 - 2 l2 donc ça qu'est ce que ça nous donne première ligne on a toujours rien toucher 1 0 1 1 0 0 deuxième ligne on n'a rien touché 0 1 0 - 1 0 1 et enfin troisième ligne donc on lui soustrait deux fois la deuxième ligne est donc ici ça fait zéro au moins deux fois 0-0 2 - 2 x 1 2 - 2 0 et enfin ici un moins de choix 0 ça fait toujours pareil même opération sur la lex matrice identité ici donc on a zéro moins deux fois moins 1 donc ça fait deux ici on a un moins deux fois 0 ça fait toujours un et enfin ici on a zéro moins deux fois nous ça nous donne - alors on va continuer en eau ici donc qu'est-ce que je peux faire comme opérations ici on voit qu'on est très proche de la matrice identité il nous reste 1 1 à enlever ici je vais par exemple faire elle un égal l1 - l3 donc je continue avec la couleur verte si j'enlève la ligne 3 à la ligne une ça me fait 1 - 0 1 0 - 0 0 et 1 - 1 zéro ici je n'ai pas touché les autres lignes donc on les laisse à l'identique et donc ici il faut faire la même opération sur l'ex matrice identité donc j'ai 1 - 2 ça fait moins 1 ensuite j'ai 0 - 1 ça fait moins 1 et 0 - 1 - 2 ça fait deux puis les deux autres lignes ne sont pas modifiés donc voilà qu'est ce qu'on a fait ici bien on a obtenu la matrice identité à gauche grâce à cette méthode du pivot de gosse et donc si cette matrice s'appelait grand teint est bien ici ce qu'on a obtenu celle inverse c'est à dire à moins un alors tu peux vérifier avec la vidéo précédente on obtient on avait commencé avec la même matrice on obtient bien sur la meme inverse la même matrice inverse et au final c'est pas beaucoup plus long c'est voire même un peu plus simple cette histoire de pivot de gauche en fait ça nous a pris un peu moins de temps effectué ces calculs qui sont relativement simples pour obtenir cette matrice inverse donc en fait ici toutes les opérations qu'on a fait progressivement sur les matrices et bien ça peut chaque opération peut être présentée par une multiplication matricielle et chacune de ces multiplication matricielle se fait avec ce qu'on appelle des matrices d'élimination donc ici par exemple on est passé de ce premier cas au deuxième cas est bien en éliminant l'élément en bas à gauche donc l'élément de coordonner 3 et un troisième ligne première colonne donc c'est comme si on avait multiplié par la matrice d'élimination 3 1 ensuite ici qu'est ce qu'on a fait pour passer de là à là on a changé la ligne 2 avec la ligne 3 donc on pourrait l'appeler par exemple la matrice c'est pour chang'e 2 3 ensuite pour passer d'ici à là on a éliminé le 2 sur la troisième ligne donc on pourrait appeler cette opération avec cette matrice e32 donc troisième ligne deuxième colonne ali est miné cet élément est enfin dernière opération qu'on a fait ici est bien en a fait l 1 - l3 donc on avait fait une multiplication avec une matrice d'élimination qu'on peut appeler un 3 donc première ligne troisième colonne on a supprimé cet élément donc l'important ici de bien retenir c'est que sur la coopération qu'on a effectués peut être représentée par une multiplication matricielle et que donc l'ensemble de ces multiplication matricielle appliqué à a bien ça nous a donné la matrice identité donc l'ensemble des produits de ces matrices d'élimination et bien c'est tout simplement l'un werst à puisque ce qu'on a bien fait c'est un moins un fois un qui est égal à l'identité est pour la partie de droite eh bien on a tout simplement multipliée à -1 donc l'ensemble des matrices d'élimination par l'identité ce qui nous a bien sûr donné à -1 voilà donc ça c'était pour illustrer un peu ce qu'on a fait c'est pas la peine de se compliquer trop la vie non plus ce qui est important c'est de bien comprendre cette méthode du pivot de gosses qui au final un peu plus simple que la méthode qu'on a vus avant avec l'aco matrix donc si déjà tu arrives à bien retenir cette technique et que tu s'est inversée une matrice de taille 3 3 eh bien je te dis bravo