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Inversion d'une matrice 3x3 par la méthode du pivot de Gauss

Transcription de la vidéo

alors ici on va avoir une deuxième façon d'inverser une matrice par exemple de taille 3 3 me c'est ce qu'on appelle le pivot de cause outre l'élimination 2 goss jordan ce deuxième tome qui est aussi important de connaître ce qu'elle est c'est facile à utiliser encore une fois ici bas je vais présenter la technique puisque c'est quelque chose de relativement facile à effectuer et la véritable démonstration mathématique et ça c'est quelque chose qui viendra un peu après pour l'instant ce qui compte c'est de savoir s'en servir alors c'est parti donc on a notre matrice ici de taille 3 3 me on va commencer par créer de la matrice augmenter une caisse que c'est que cette matrice augmenté je vais faire un trait de séparation verticales et enfin le fait simplement destinée de l'autre côté la matrice identité de même taille tant qu'amatrice identité ici de taille 3 donc voilà notre matrice augmenter et donc ce qu'on va faire dessus et l'on se rend à faire ici c'est un certain nombre d'opérations élémentaire sur les lignes et pour chaque fois qu'on va effectuer une opération pour modifier la matrice de gauche eh bien on va faire exactement la même opération pour modifier et celle de droite et lorsque après avoir effectué ces opérations on va pouvoir obtenir la matrice identité à gauche et bien la matrice qui aura subi les mêmes transformation à droite saura-t-elle bien la matrice à l'inversé on cherche pas à trouver et donc pour employer le jargon - lorsqu'on move lorsqu'on effectue cette méthode dite stupide autre cause sur une matrice et bien dans ce cas-là on dit que le résultat correspond à la forme échelonné il est réduite donc ici les opérations élémentaires qu'on va faire sur les lignes bah serait par exemple multiplier par un nombre ça va être par exemple ajouter ou soustraire faire des combinaisons linéaire des lignes de cette matrice et l'on peut donc là tu vois apparaître l'analogie avec le système d'équations linéaires que par exemple pour résoudre un système wade de deux équation à deux inconnues et bien on peut faire une combinaison linéaire les deux équations pas pour trouver les inconnues qui nous intéresse ici c'est un peu la même chose donc on va pouvoir multiplier chaque ligne par un moment additionner ou soustraire les lignes entre elles et autres opérations élémentaires importante qu'on peut faire aussi bien c échanger de ligne entraîne à chaque fois on va faire la même opération sur la matrice identité sachant que le but c'est bien sûr d'obtenir la maîtrise qui d'entités à gauche ici c'est-à-dire d'obtenir que d un sur la diagonale et donc lorsqu'on applique le pivot de cause c'est-à-dire cette technique je viens d'écrire sur une matrice est bien en main on obtient sa forme échelonné alors pour que tout ça soit un peu plus concret mamba a commencé directement et puis tu vas voir et comprendre un peu mieux au fur et à mesure cette méthode du pivot de course alors ce que je vais faire ici pour moi approché d'identité et moi je vais déjà essayer de supprimer ce coin ici en bas à gauche puisque dans une matrice identité en aurait un zéro ici donc je vais pas changer les deux premières lignes donc on garde 1 zéro rien zéro 2 un peu de la même façon ne change pas les premières lignes sur la matrice identité par contre sur cette dernière dernière ligne je vais par exemple faire une ligne 3 - ils ignoraient une ça va nous faire apparaître un zéro et s'ils seront là 1-5 ici on n'a pas - 0 ça fait toujours bien et ici on a pas moins cinq ça fait zéro donc bien sûr je dois appliquer exactement la même opération sur la matrice l'entité à droite donc je vais faire dernière ligne - première ligne ça me donne moins cinq zéro alors je l'avais écrit ici pour passer de la première à la deuxième actrice on a fait tout simplement la ligne 3 est égal arras la ligne 3 - la ligne une ensuite on va passer à l'étape suivante donc étape suivante qu'est-ce qui pourrait être intéressant maintenant on voit que qui si cette ligne zéro ainsi 0 ça correspond à la ligne du milieu d'une matrice identité donc on va tout simplement échanger ligne 2 et ligne 3 donc on va faire l'opération qui le dit lignes de égal ligne 3 et ligne 3 ligne 2 donc la première ligne reste inchangé 1 011 pareil ici 1 zéro zéro ensuite on change la deuxième et la troisième ligne donc ça va nous donner des héros zéro zéro et si on changeait ceci donc moins cinq zéro 1 zéro alors on continue pour toujours se rapprocher plus de cette matrice identité à gauche donc ici qu'est-ce que je peux faire encore comme opération benjamin de la faire disparaître ce 2 pour mois prochain la matrice identité donc je vais par exemple faire capelle 3 m la troisième ligne qui est égal quarto raidir l'appel trois ans de moins 2 donc ça qu'est-ce que ça nous donne première ligne on a toujours rien touché un fléau 1 08 08 deuxième ligne on n'a rien touché zéro zéro - 5 zéro et enfin troisième ligne donc on lui soustraire deux fois là le mini donc ici ça fait 0-2 fois 0 zéro 2 - deux fois zone de données 2-2 zéro et enfin ici un peu moins deux fois 0 ça fait toujours pareil même opération sur la l'accent matricide entité ici donc on a zéro moins 2 5 fois moins vingt ans que ça fait ici on a deux fois 0 puis ça fait toujours pas et enfin ici en main 0-2 fois un morceau ne donne - de alors on va continuer au lycée donc qu'est-ce que je peux faire comme opération ici on voit qu'on est très proche la matrice d'entités il nous reste maintenant le cas ici passé par exemple faire elle 1 l'idéal l 1 elle croit je continue avec la couleur verte si j'en rêve la ligne 3 à la ligne une ça me fait un - 0 un bon 0-0 zéro but par -20 je n'ai pas touché les autres lignes donc on les laisse à l'identique et donc fils il faut faire la même opération sur l'axé matricide entité est donc jugé 1 - de ce fut mon voisin ensuite j'ai zéro - ça fait moins cinq eisai rhône - - 2 ça fait deux puis les deux autres lignes ne sont pas modifiés donc voilà qu'est-ce qu'on a fait ici et bien on a obtenu la matrice identité à gauche grâce à cette méthode du pivot du gauche et donc si cette matrice ça plaît grand talent et bien ici ce qu'on a obtenu c'est l'inversé c'est à dire 1-1 alors tu peux vérifier avec la vidéo précédente on obtient on avait commencé avec la même matrice maintient bien sûr la même un personnel matrice inverse et au final c'est pas beaucoup plus long c'est voir même un peu plus simple cette histoire de pivot de cause en fait ça nous a pris un peu moins de temps effectuer ces calculs qui sont relativement simples pour obtenir cette matrice donc en fait ici toutes les opérations qu'on a fait progressivement sur les matrices eh bien ça peut chaque opération peut être présentée par une tenue typique à sion matricielle chacune de ces multiplication matricielle c'est fait avec ce qu'on appelle des matrices d'élimination donc ici par exemple on est passé de ce premier cas autochtone cas eh bien en éliminant un élément en bas à gauche on plaît les manches de coordonner 3 troisième une première colonne donc c'est comme si on avait multiplié par la matrice d'élimination ensuite ici et qu'est-ce qu'on a fait pour passer de là à laon a changé la ligue 2 avec la ligne 3 ans donc on pourrait l'appeler la matrice c'est pour changer ensuite au passé d'ici à la reprise éliminer le 2 surtout la troisième ligne donc on pourrait appeler de cette opération avec cette matrice 2 notre troisième ligne 2e coghlan a éliminé cet élément et enfin dernière opération qu'on a fait ici est lui en a fait elin - elle croit donc on a fait une multiplication hakimakli d'élimination qu'on peut appelés pas trois ans une première ligne 3e colloque la supprimer cet élément donc l'important c'est de bien retenir c'est que cinq opérations qu'on a effectués plus être présentée par une multiplication matricielle et que donc l'ensemble de ses boutiques et sur l'attrition appliqué à part mais ça nous a donné la matrice identité donc l'ensemble des produits ces matrices d'élimination et bien c'est tout simplement l'un envers steve pas puisque ce qu'on a bien fait assez un moindre poids pas kiéthéga identity pour la partie droite et bien tout simplement multiplier amoins zain donc l'ensemble des matrices élimination par l'identité ce qui nous a bien sûr donné à -5 voilà donc ça c'était pour illustrer un peu ce qu'on a fait c'est pas la peine de se compliquer trop la vie non plus qu'important c'est de bien comprendre cette méthode du pivot de cause si au final un peu plus simple que la méthode qu'on a vu à voir avec la couleur grise donc si déjà tard il va bien retenir cette technique et que tu sais inversée une matrice de tech 3 3 et là je te dis bravo