Les matrices et les transformations

Certaines transformations géométriques peuvent être définies par des matrices. C'est de cette application du calcul matriciel dont il s'agit dans cette leçon. C'est un prétexte à de belles animations !

Avant de voir comment une transformation du plan peut être définie par une matrice $2\times 2$‍, on va tout simplement regarder comment une transformation dans l'espace à une dimension peut être définie par un nombre qui n'est autre qu'une matrice $1\times 1$‍ !$$‍

Une transformation est une fonction qui à un point fait correspondre un autre point. Voici une droite numérique.

Que se passe-t-il si on multiplie le vecteur unitaire d'une droite numérique par $2$‍. Voici une façon de le visualiser :

La droite numérique originale est en vert et sa transformée est en bleu.

De même, si on multiplie le vecteur unitaire par ${\displaystyle \frac{1}{2}}$‍, on obtient :

Et voici la multiplication du vecteur unitaire par $-3$‍ :

Ces trois transformations sont des "transformations linéaires de l'espace à une dimension".

Une dernière question avant de passer aux transformations du plan. Dans l'animation ci-dessous, comment obtient-on l'image du vecteur unitaire de la droite numérique ?

Comment passe-t-on du vecteur unitaire de la droite verte à celui de la droite bleue ? Où se trouve le point $\text{d’abscisse }1$‍ de la droite bleue ? Là où était le point d'abscisse $-3$‍ sur la droite verte. Donc cette transformation est la multiplication par $-3$‍.

Une transformation du plan est une transformation qui à tout vecteur de coordonnées $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍ fait correspondre un autre vecteur du plan. Une transformation du plan peut être linéaire ou ne pas l'être. Voici trois exemples de transformations du plan :

On démontre qu'une transformation du plan est linéaire si et seulement si l'origine du repère est invariante et l'image d'une droite est une droite. Les trois transformations que l'on vient de voir sont des transformations linéaires. Ci-dessous deux transformations non linéaires .

Regardez cette vidéo :

Comment procéder pour bien comprendre quelle est cette transformation ? L'idée est de tracer en couleurs les deux vecteurs unitaires qui définissent le repère : en vert le vecteur unitaire $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍ et en rouge le vecteur unitaire $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ et de laisser en arrière-plan le repère tel qu'il était avant que l'on applique la transformation :

Maintenant on voit clairement que l'image du vecteur de coordonnées $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$‍ est le vecteur de coordonnées $\left[\begin{array}{c}4\\ -2\end{array}\right]$‍.

Ce que l'on note :

Le vecteur de coordonnées $\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]$‍ est le produit par $2$‍ du vecteur unitaire sur l'axe des abscisses, donc son image sera le produit par $2$‍ de l'image de ce vecteur unitaire (en vert). Cette image est le vecteur de coordonnées $\left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right]$‍, donc

$\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]\to 2\times \left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ -4\end{array}\right]$‍.

Et de façon générale,

De même on peut déduire les images des vecteurs de coordonnées $(0;y)$‍ de l'image du vecteur unitaire de l'axe des ordonnées, $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ qui est $\left[\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right]$‍.

Si on connaît les images des vecteurs unitaires $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍ et $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ on peut en déduire les coordonnées de l'iamage de n'importe quel vecteur du plan. A la fin de la vidéo ci-dessous, le point jaune est l'extrémité de l'image du vecteur de coordonnées $\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]$‍ :

$(-1;2)=-1\times (1;0)+2\times (0;1)$‍, donc les coordonnées de l'image du vecteur de coordonnées $(-1;2)$‍ sont :

Attention, notez bien que ce type de raisonnement ne s'applique que si la transformation est une une transformation linéaire.

Quel que soit le couple de coordonnées $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍,

Si le vecteur $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍ a comme image le vecteur $\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]$‍, et si le vecteur $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ a comme image le vecteur $\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]$‍, alors le vecteur $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍ a comme image le vecteur

Soit la matrice

Les éléments de sa première colonne sont les coordonnées de l'image du vecteur $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍ et ceux de sa deuxième colonne sont les coordonnées de l'image du vecteur $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍. Les coordonnées de l'image du vecteur $\mathbf{\text{v}}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍ sont les éléments de la matrice $\text{Av}$‍.

C'est de là que vient la définition du produit d'une matrice par un vecteur.

A toute transformation linéaire du plan on peut associer une matrice $2\times 2$‍. Les éléments de sa première colonne sont les coordonnées de l'image du vecteur $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍ et ceux de sa deuxième colonne sont les coordonnées de l'image du vecteur $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍.