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La condition pour que soit défini le produit de deux matrices

Dans cet article, on découvre la condition pour qu'un produit matriciel soit défini, et le pourquoi de cette condition. De même pour les dimensions de la matrice produit.

Prérequis :

Une matrice est un tableau de nombres qui comporte des lignes et des colonnes. Chacun de ces nombres est un élément ou un coefficient de la matrice.
Par définition si une matrice a m lignes et n colonnes, elle est dite de dimension m×n (dans cet ordre). La matrice A a 2 lignes et 3 colonnes, donc elle est de dimension 2×3. On dit aussi que c'est une matrice 2×3.
Éventuellement, reportez-vous à la leçon Qu'est-ce qu'une matrice ?
Chacun des éléments de la matrice produit est le produit scalaire du vecteur associé à l'une des lignes de la première matrice et du vecteur associé à l'une des colonnes de la deuxième matrice.
Si nécessaire, reportez-vous à la leçon Multiplier deux matrices.

Le sujet traité

Cette leçon porte sur la condition qui doit être satisfaite par les deux matrices pour que leur produit soit défini, et sur la dimension de la matrice produit.

A quelle condition le produit de deux matrices est-il défini ?

Pour que le produit de deux matrices soit défini, il faut que le nombre de colonnes de la première matrice soit égal au nombre de lignes de la deuxième.
Voici l'explication sur un exemple :
A=[132425] et B=[13222451]
Chacun des éléments de la matrice produit AB est égal au produit scalaire du vecteur associé à une ligne de la matrice A et du vecteur associé à une colonne de la matrice B. Il faut donc que les lignes de la matrice A aient le même nombre d'éléments que les colonnes de la matrice B.
A=[132425] et B=[13222451]
Si chacune des lignes d'une matrice est constituée de deux éléments, alors cette matrice a deux colonnes. De même, si chacune des colonnes d'une matrice est constituée de deux éléments, alors cette matrice a deux lignes.
Donc, pour que le produit de deux matrices soit défini, il faut que le nombre de colonnes de la première matrice soit égal au nombre de lignes de la deuxième.

À vous !

1) A=[246473] et B=[2185].
Le produit AB est-il défini ?
Choisissez une seule réponse :

2) C=[53616853] et D=[218755].
Le produit CD est-il défini ?
Choisissez une seule réponse :

3) A est une matrice 4×2 et B une matrice 2×3.
Le produit AB est-il défini ?
Choisissez une seule réponse :

Le produit BA est-il défini ?
Choisissez une seule réponse :

Dimension de la matrice produit

La matrice produit d'une matrice m×n par une matrice n×k est une matrice m×k.
Soit la matrice AB, avec A=[132425] et B=[13222451].
A est une matrice 3×2, elle a 2 colonnes. B est une matrice 2×4, elle a 2 lignes. Donc la matrice produit AB est définie.
Pour calculer la matrice produit AB, on calcule les produits scalaire de chacun des vecteurs associés aux lignes de la matrice A et de chacun des vecteurs associés aux colonnes de la matrice B. Donc le nombre de lignes de la matrice AB est le même que celui de la matrice A qui est une matrice 3×2, donc qui a 3 lignes. Et le nombre de colonnes de la matrice AB est le même que celui de la matrice B qui est une matrice 2×4, donc qui a 4 colonnes. La matrice AB est donc une matrice 3×4.

À vous !

4) A=[246473] et B=[2185].
Quelle est la dimension de la matrice AB ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
×
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

5) C=[431672] et D=[314].
Quelle est la dimension de la matrice CD ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
×
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

6) A est une matrice 2×3 et B est une matrice 3×4.
Quelle est la dimension de la matrice AB ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
×
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

7) X est une matrice 2×1 et Y est une matrice 1×2.
Quelle est la dimension de la matrice XY ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
×
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

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  • piceratops ultimate style l'avatar de l’utilisateur Smaug-le-Terrible
    Si je comprends bien, lorsqu'on définit m et n, la première valeur représente les colonnes et la deuxième les lignes. C'est ça ?

    Parce qu'au début je ne comprenais pas pourquoi je faisais des erreurs... ^^
    (2 votes)
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  • old spice man blue style l'avatar de l’utilisateur Yves G.
    Le chapeau en tête de l'article dit : "Le produit de deux matrices n'est défini que si le nombre de colonnes de la deuxième matrice est égal au nombre de lignes de la première et le produit d'une matrice (n,m) par une matrice (m,p) est une matrice (n,p)." Alors que dans le corps de l'article, à la suite de la question "A quelle condition le produit de deux matrices est-il défini ?", il est écrit :
    "Pour que le produit de deux matrices soit défini, il faut que le nombre de colonnes de la première matrice soit égal au nombre de lignes de la deuxième."
    Manifestement un seul des deux énoncés est correct, mais malheureusement c'est celui qui semble faux qui apparait en réponse à une requête Google "produit de matrice". Pouvez vous corriger cette source de confusion ?
    (1 vote)
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