La condition pour que soit défini le produit de deux matrices

Une matrice est un tableau de nombres qui comporte des lignes et des colonnes. Chacun de ces nombres est un élément ou un coefficient de la matrice.

Par définition si une matrice a $m$‍ lignes et $n$‍ colonnes, elle est dite de dimension $m\times n$‍ (dans cet ordre). La matrice $A$‍ a $2$‍ lignes et $3$‍ colonnes, donc elle est de dimension $2\times 3$‍. On dit aussi que c'est une matrice $2\times 3$‍.

Éventuellement, reportez-vous à la leçon Qu'est-ce qu'une matrice ?.

Chacun des éléments de la matrice produit est le produit scalaire du vecteur associé à l'une des lignes de la première matrice et du vecteur associé à l'une des colonnes de la deuxième matrice.

Si nécessaire, reportez-vous à la leçon Multiplier deux matrices.

Cette leçon porte sur la condition qui doit être satisfaite par les deux matrices pour que leur produit soit défini et sur la dimension de la matrice produit.

Pour que le produit de deux matrices soit défini, il faut que le nombre de colonnes de la première matrice soit égal au nombre de lignes de la deuxième.

Voici l'explication sur un exemple :

Chacun des éléments de la matrice produit $AB$‍ est égal au produit scalaire du vecteur associé à une ligne de la matrice $A$‍ et du vecteur associé à une colonne de la matrice $B$‍. Il faut donc que les lignes de la matrice $A$‍ aient le même nombre d'éléments que les colonnes de la matrice $B$‍.

Si chacune des lignes d'une matrice est constituée de deux éléments, alors cette matrice a deux colonnes. De même, si chacune des colonnes d'une matrice est constituée de deux éléments, alors cette matrice a deux lignes.

Donc, pour que le produit de deux matrices soit défini, il faut que le nombre de colonnes de la première matrice soit égal au nombre de lignes de la deuxième.

3) $A$‍ est une matrice $4\times 2$‍ et $B$‍ une matrice $2\times 3$‍.

La matrice produit d'une matrice $m\times n$‍ par une matrice $n\times k$‍ est une matrice $m\times k$‍.

Soit la matrice $AB$‍, avec $A=\left[\begin{array}{rr}1& 3\\ 2& 4\\ 2& 5\end{array}\right]$‍ et $B=\left[\begin{array}{rrrr}1& 3& 2& 2\\ 2& 4& 5& 1\end{array}\right]$‍.

$A$‍ est une matrice $3\times 2$‍, elle a $2$‍ colonnes. $B$‍ est une matrice $2\times 4$‍, elle a $2$‍ lignes. Donc la matrice produit $AB$‍ est définie.

Pour calculer la matrice produit $AB$‍, on calcule les produits scalaire de chacun des vecteurs associés aux lignes de la matrice $A$‍ et de chacun des vecteurs associés aux colonnes de la matrice $B$‍. Donc le nombre de lignes de la matrice $AB$‍ est le même que celui de la matrice $A$‍ qui est une matrice $3\times 2$‍, donc qui a $3$‍ lignes. Et le nombre de colonnes de la matrice $AB$‍ est le même que celui de la matrice $B$‍ qui est une matrice $2\times 4$‍, donc qui a $4$‍ colonnes. La matrice $AB$‍ est donc une matrice $3\times 4$‍.