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5e et 6e année secondaires - PES

Cours : 5e et 6e année secondaires - PES > Chapitre 4

Leçon 1: Opérations sur les matrices

Multiplier deux matrices

La multiplication est-elle toujours définie dans l'ensemble des matrices ? Comment calculer le produit de deux matrices.

Prérequis :

Une matrice est un tableau de nombres qui comporte des lignes et des colonnes. Chacun de ces nombres est un élément ou un coefficient de la matrice.

Par exemple, la matrice

A

2

lignes et

3

colonnes.

a_{2, 1}

est l'élément de la

2 ème ligne

et de la

1 ère colonne

a_{2, 1} = 5

Si nécessaire, reportez-vous à la leçon Qu'est-ce qu'une matrice ? et à la leçon Multiplier une matrice par un scalaire.

Le sujet traité

Cette leçon porte sur le produit de deux matrices. Par exemple, le produit :

[\begin{array}{rr} 1 & 7 \\ 2 & 4 \end{array}] \times [\begin{array}{rr} 3 & 3 \\ 5 & 2 \end{array}]

Multiplication d'une matrice par un scalaire et multiplication de deux matrices

Quand on travaille dans l'ensemble des matrices, pour éviter toute confusion on utilise le terme scalaire pour désigner un nombre réel.

\begin{aligned} 2 \times [\begin{array}{cc} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] & = [\begin{array}{cc} 2 \times 5 & 2 \times 2 \\ 2 \times 3 & 2 \times 1 \end{array}] = [\begin{array}{cc} 10 & 4 \\ 6 & 2 \end{array}] \end{aligned}

Pour multiplier une matrice par un scalaire, on multiplie chacun des éléments de la matrice par le scalaire.

La multiplication de deux matrices est une opération complètement différente. Elle est moins simple mais plus intéressante.

D'abord un rappel sur le produit scalaire de deux vecteurs.

Produit scalaire

Un vecteur du plan, de dimension

2

a deux composantes, par exemple, le couple

(2, 5)

. Un vecteur de l'espace, de dimension

3

, a trois composantes, par exemple le triplet

(3, 1, 8)

On peut imaginer un vecteur d'un espace de dimension

n

. Ses composantes constituent un n-uplet, c'est-à-dire un ensemble ordonné de

n

nombres.

Par définition le produit scalaire de deux vecteurs d'un espace à

n

dimensions de composantes

(x_{1}, x_{2}, … x_{n})

(x_{1}^{'}, x_{2}^{'}, … x_{n}^{'})

est la somme

x_{1} x_{1}^{'} + x_{2} x_{2}^{'} + … + x_{n} x_{n}^{'}

Par exemple, dans le plan le produit scalaire des vecteurs de composantes, ou coordonnées,

(x, y)

(x^{'}, y^{'})

est

x x^{'} + y y^{'}

. Le symbole du produit scalaire est le point :

\begin{aligned} (2, 5) \cdot (3, 1) & = 2 \times 3 + 5 \times 1 = 6 + 5 = 11 \end{aligned}

Voici l'exemple du produit scalaire de deux vecteurs de l'espace :

\vec{a} (3, 1, 8)

\vec{b} (4, 2, 3)

. Leur produit scalaire

\vec{a} \cdot \vec{b}

est :

\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} & = (3, 1, 8) \cdot (4, 2, 3) \\ = 3 \times 4 + 1 \times 2 + 8 \times 3 \\ = 12 + 2 + 24 \\ = 38 \end{aligned}

Le produit scalaire est une opération qui à deux vecteurs fait correspondre un réel.

À vous !

1) $\vec{c} = (4, 3)$ ‍ et $\vec{d} = (3, 5)$ ‍.

\vec{c} \cdot \vec{d} =

2) $\vec{m} (2, 5, - 2)$ ‍ et $\vec{n} (1, 8, - 3)$ ‍.

\vec{m} \cdot \vec{n} =

Matrices et $n$ ‍-uplets

Chacune des lignes et chacune des colonnes d'une matrice est un ensemble ordonné de nombres donc un

n

-uplet. Donc à chacune des lignes et à chacune des colonnes, on peut associer le vecteur dont les coordonnées sont ce

n

-uplet.

\begin{array}{rccc} \vec{c_{1}} & \vec{c_{2}} \\ ↓ & ↓ \\ \begin{array}{c} \vec{r_{1}} \to \\ \vec{r_{2}} \to \end{array} & [\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix} & \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}] \end{array}

Dans cette matrice, à la ligne

1

on associe le vecteur

\vec{l_{1}} (6, 2)

et à la ligne

2

le vecteur

\vec{l_{2}} (4, 3)

De même, à la colonne

1

on associe le vecteur

\vec{c_{1}} (6, 4)

et à la colonne

2

le vecteur

\vec{c_{2}} (2, 3)

À vous !

\begin{array}{rccc} \vec{c_{1}} & \vec{c_{2}} & \vec{c_{3}} \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ \begin{array}{c} \vec{r_{1}} \to \\ \vec{r_{2}} \to \\ \vec{r_{3}} \to \end{array} & [\begin{matrix} 1 \\ 6 \\ 2 \end{matrix} & \begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} & \begin{matrix} 5 \\ 7 \\ 4 \end{matrix}] \end{array}

3) Quel est le triplet de coordonnées du vecteur $\vec{c_{2}}$ ‍ associé à la colonne $2 ?$ ‍

Multiplier deux matrices

Voici sur un exemple comment on définit la multiplication dans l'ensemble des matrices.

Soit

A = [\begin{array}{rr} 1 & 7 \\ 2 & 4 \end{array}]

B = [\begin{array}{rr} 3 & 3 \\ 5 & 2 \end{array}]

. On calcule la matrice produit

C = A B

Par définition :

\begin{array}{ccccccccc} \vec{b_{1}} & \vec{b_{2}} \\ ↓ & ↓ \\ \begin{matrix} \vec{a_{1}} \to \\ \vec{a_{2}} \to \end{matrix} & [\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} & \begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix}] & \times & [\begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix} & \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}] & = & [\begin{matrix} \vec{a_{1}} \cdot \vec{b_{1}} \\ \vec{a_{2}} \cdot \vec{b_{1}} \end{matrix} & \begin{matrix} \vec{a_{1}} \cdot \vec{b_{2}} \\ \vec{a_{2}} \cdot \vec{b_{2}} \end{matrix}] \\ A & B & C \end{array}

Chacun des éléments de la matrice

C

est le produit scalaire du vecteur associé à l'une des lignes de la matrice

A

et du vecteur associé à l'une des colonnes de la matrice

B

. Plus précisément

c_{i, j}

est le produit scalaire du vecteur

\vec{a_{i}}

et du vecteur

\vec{b_{j}}

c_{1, 2}

est le produit scalaire des vecteurs

\vec{a_{1}}

\vec{b_{2}}

\begin{array}{ccccc} [\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} & \begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix}] & \times & [\begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix} & \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}] & = & [\begin{matrix} \vec{a_{1}} \cdot \vec{b_{1}} \\ \vec{a_{2}} \cdot \vec{b_{1}} \end{matrix} & \begin{matrix} 17 \\ \vec{a_{2}} \cdot \vec{b_{2}} \end{matrix}] \end{array}

[détail]

On obtient :

C = [\begin{array}{rr} 38 & 17 \\ 26 & 14 \end{array}]

[détail des calculs]

À vous !

C = [\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 5 & 2 \end{array}]

D = [\begin{array}{rr} 1 & 4 \\ 3 & 6 \end{array}]

F = C \times D

a) $f_{2, 1}$ ‍ est égal à :

b) Calculer la matrice $F$ ‍.

F =

X = [\begin{array}{rr} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{array}]

Y = [\begin{array}{rrr} 2 & 8 \\ 5 & 4 \end{array}]

Calculer $Z = X \times Y$ ‍.

Z =

M = [\begin{array}{rrr} 2 & 8 & 3 \\ 5 & 4 & 1 \end{array}]

N = [\begin{array}{rr} 4 & 1 \\ 6 & 3 \\ 2 & 4 \end{array}]

P = M \times N

a) $p_{1, 2}$ ‍ est égal à :

b) Calculer la matrice $P$ ‍.

P =

Un commentaire

Je pense que vous serez d'accord avec moi que jusqu'ici les opérations dans l'ensemble des matrices que nous avions étudiées -l'addition, la soustraction et la multiplication par un scalaire- allaient de soi.

Mais ce n'est pas la cas pour la multiplication ! Les éléments de la matrice produit ne sont pas les produits des éléments situés au même emplacement dans chacune des matrices.

Vous vous demandez peut-être pourquoi ! Les choses s'éclaireront et vous comprendrez mieux quand vous découvrirez les leçons :

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Multiplication d'une matrice par un scalaire et multiplication de deux matrices

Produit scalaire

À vous !

Matrices et n‍ -uplets

À vous !

Multiplier deux matrices

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