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Cours : 5e et 6e année secondaires - PES > Chapitre 4

Leçon 1: Opérations sur les matrices

Les propriétés de l'addition matricielle

Les matrices

A

B

C

sont des matrices de même dimension.

Propriété	Traduction en langage mathématique
L'addition est commutative	Quelles que soient $A$ ‍ et $B$ ‍, $A + B = B + A$ ‍
L'addition est associative	Quelles que soient $A$ ‍, $B$ ‍ et $C$ ‍, $A + (B + C) = (A + B) + C$ ‍
La matrice nulle est l'élément neutre de l'addition	Quelle que soit $A$ ‍, si $O$ ‍ est la matrice nulle de même dimension, alors $A + O = O + A = A$ ‍.
Toute matrice a une matrice opposée	Quelle que soit $A$ ‍, son opposée $- A$ ‍ est telle que $A + (- A) = (- A) + A = O$ ‍.
L'addition est une loi interne dans chacun des ensembles de matrices de même dimension	Si $A$ ‍ et $B$ ‍ sont des matrices de dimension $m \times n$ ‍, leur somme $A + B$ ‍ est une matrice de dimension $m \times n$ ‍.

Cette leçon porte sur ces propriétés de l'addition matricielle.

Les matrices et l'addition matricielle

Une matrice est un tableau de nombres qui comporte des lignes et des colonnes. Par définition si une matrice a

m

lignes et

n

colonnes, elle est dite de dimension

m \times n

(dans cet ordre). La matrice

A

2

lignes et

3

colonnes, donc elle est de dimension

2 \times 3

. On dit aussi que c'est une matrice

2 \times 3

Pour additionner deux matrices, on additionne terme à terme les éléments situés aux mêmes emplacements dans chacune des matrices.

$\begin{aligned} [\begin{array}{rr} 3 & 7 \\ 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 8 & 1 \end{array}] & = [\begin{array}{rr} 3 + 5 & 7 + 2 \\ 2 + 8 & 4 + 1 \end{array}] = [\begin{array}{rr} 8 & 9 \\ 10 & 5 \end{array}] \end{aligned}$ ‍

Si nécessaire, reportez-vous aux leçons précédentes :

Dimension

L'exemple précédent montre que la somme de deux matrices

2 \times 2

est une matrice

2 \times 2

. De façon générale, la somme de deux matrices

m \times n

est une matrice

m \times n

. On dit que l'addition est une loi interne dans l'ensemble des matrices de même dimension.

On ne peut pas additionner deux matrices de dimensions différentes. En effet si la matrice

A

est une matrice

2 \times 3

et la matrice

B

une matrice

2 \times 2

, alors, par exemple, aucun élément de la matrice

B

n'est au même emplacement que l'élément de la première ligne et de la troisième colonne de la matrice

A

, puisque la matrice

B

n'a que deux colonnes.

La somme $\begin{aligned} [\begin{array}{rr} 2 & 7 & 8 \\ 2 & 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 8 & 1 \end{array}] & n’est pas définie \end{aligned}$ ‍

Addition matricielle et addition dans l'ensemble des réels

L'addition matricielle est définie à partir de l'addition des réels donc ces deux additions ont des propriétés analogues.

On va examiner chaque propriété l'une après l'autre.

L'addition matricielle est commutative : $A + B = B + A$ ‍

On peut modifier l'ordre des matrices à additionner.

C'est à mettre en parallèle avec la commutativité de l'addition dans l'ensemble des réels. Par exemple,

3 + 5 = 5 + 3

Voici la justification sur un exemple :

\begin{aligned} [\begin{array}{rr} 3 & 7 \\ 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 8 & 1 \end{array}] & = [\begin{array}{rr} 3 + 5 & 7 + 2 \\ 2 + 8 & 4 + 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 5 + 3 & 2 + 7 \\ 8 + 2 & 1 + 4 \end{array}] & (d’après la commutativité de l’addition dans l’ensemble des réels) \\ = [\begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 8 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 3 & 7 \\ 2 & 4 \end{array}] \end{aligned}

La commutativité de l'addition matricielle repose sur la commutativité de l'addition dans l'ensemble des réels.

L'addition matricielle est associative : $(A + B) + C = A + (B + C)$ ‍

On peut regrouper les matrices à additionner comme l'on veut. C'est-à-dire que l'on peut d'abord calculer la somme de

A

et de

B

puis lui ajouter

C

, ou d'abord calculer la somme de

B

et de

C

puis lui ajouter

A

C'est à mettre en parallèle avec l'associativité de l'addition dans l'ensemble des réels. Par exemple,

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

Voici une justification de cette propriété sur un exemple.

Là aussi l'associativité de l'addition matricielle repose sur l'associativité de l'addition dans l'ensemble des réels. L'élément de la première ligne et de la première colonne

(5 + 3) + 1

est égal à

5 + (3 + 1)

et comme on peut écrire le même type d'égalité pour chacun des éléments de la somme

(A + B) + C

, on en déduit que

(A + B) + C = A + (B + C)

Il en découle que l'on peut écrire la somme de trois matrices sans utiliser de parenthèses :

A + B + C

La matrice nulle est l'élément neutre de l'addition : $A + O = O + A = A$ ‍

La matrice nulle, notée

O

, est une matrice dont tous les éléments sont égaux à

0

Quelle que soit la matrice

A

, la somme de la matrice

A

et de la matrice nulle est la matrice

A

elle-même.

$[\begin{array}{rr} 3 & - 1 \\ 7 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{rr} 3 & - 1 \\ 7 & 9 \end{array}]$ ‍
$[\begin{array}{rr} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 2 & 8 & 3 \\ - 1 & 5 & 7 \end{array}] = [\begin{array}{rr} 2 & 8 & 3 \\ - 1 & 5 & 7 \end{array}]$ ‍

Si la matrice

A

est de dimension

m \times n

, et si

O

est la matrice nulle de même dimension alors les sommes

A + O

O + A

sont égales à

A

De même que

0

est l'élément neutre de l'addition dans l'ensemble des réels, la matrice nulle de dimension

m \times n

est l'élément neutre de l'addition dans l'ensemble des matrices de dimension

m \times n

Toute matrice a une matrice opposée notée $- A$ ‍ : $A + (- A) = (- A) + A = O$ ‍

L'opposée de la matrice

A

est la matrice dont les éléments sont les opposés des éléments de la matrice

A

. Elle est notée

- A

Par exemple, si

A = [\begin{array}{rr} - 2 & 8 \\ - 3 & 1 \end{array}]

, alors

- A = [\begin{array}{rr} 2 & - 8 \\ 3 & - 1 \end{array}]

Quelle que soit la matrice

A

, la somme de la matrice

A

et de la matrice

- A

est égale à la matrice nulle.

$\begin{aligned} A + (- A) & = [\begin{array}{rr} - 2 & 8 \\ - 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 2 & - 8 \\ 3 & - 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} - 2 + 2 & 8 + (- 8) \\ - 3 + 3 & 1 + (- 1) \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}] \end{aligned}$ ‍

Quelle que soit la matrice

A

, la matrice

- A

est la symétrique pour l'addition de la matrice

A

À vous !

Dans ces exercices,

A

B

C

sont des matrices

2 \times 2

1) La somme $(A + B) + C$ ‍ est égale à :

L'addition matricielle est associative, donc

(A + B) + C = A + (B + C)

(A + B) + C

peut aussi s'écrire

A + B + C

L'addition matricielle est commutative et associative, donc

(A + B) + C = (C + A) + B

. En effet :

$\begin{aligned} (A + B) + C & = A + (B + C) & d’après l’associativité de l’addition matricielle \\ = A + (C + B) & d’après la commutativité de l’addition matricielle \\ = (A + C) + B & d’après l’associativité de l’addition matricielle \\ = (C + A) + B & d’après la commutativité de l’addition matricielle \end{aligned}$ ‍

Mais la somme

(A + B) + C

n'est pas égale à la somme

(A + C) + (B + C)

Donc, la somme

(A + B) + C

est égale à :

$A + (B + C)$ ‍
$(C + A) + B$ ‍
$A + B + C$ ‍

2) La somme $(A + (- A)) + B$ ‍ est égale à :
Rappel : $A$ ‍ et $B$ ‍ sont des matrices $2 \times 2$ ‍.

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5e et 6e année secondaires - PES

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Les matrices et l'addition matricielle

Dimension

Addition matricielle et addition dans l'ensemble des réels

L'addition matricielle est commutative : A+B=B+A‍

L'addition matricielle est associative : (A+B)+C=A+(B+C)‍

La matrice nulle est l'élément neutre de l'addition : A+O=O+A=A‍

Toute matrice a une matrice opposée notée −A‍ : A+(−A)=(−A)+A=O‍

À vous !

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L'addition matricielle est commutative : $A + B = B + A$ ‍

L'addition matricielle est associative : $(A + B) + C = A + (B + C)$ ‍

La matrice nulle est l'élément neutre de l'addition : $A + O = O + A = A$ ‍

Toute matrice a une matrice opposée notée $- A$ ‍ : $A + (- A) = (- A) + A = O$ ‍