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5e et 6e année secondaires - PES

Cours : 5e et 6e année secondaires - PES > Chapitre 4

Leçon 1: Opérations sur les matrices

Les propriétés de la multiplication matricielle

A

B

C

sont des matrices

n \times n

I

est la matrice identité de dimension

n \times n

O

est la matrice nulle de dimension

n \times n

Propriété	Exemple
La multiplication matricielle $n’est pas commutative$ ‍	$A B \neq B A$ ‍
La multiplication matricielle est associative	Quelles que soient $A$ ‍, $B$ ‍ et $C$ ‍, $(A B) C = A (B C)$ ‍
La multiplication matricielle est distributive sur l'addition	Quelles que soient $A$ ‍, $B$ ‍ et $C$ ‍, $A (B + C) = A B + A C$ ‍
	$(B + C) A = B A + C A$ ‍
La matrice identité $I$ ‍ est élément neutre pour la multiplication	Quelle que soit la matrice $A$ ‍, $I A = A$ ‍ et $A I = A$ ‍
La matrice produit d'une matrice par le matrice nulle est la matrice nulle	Quelle que soit la matrice, $O A = O$ ‍ and $A O = O$ ‍
Dimension de la matrice produit	La matrice produit d'une matrice $m \times n$ ‍ et d'une matrice $n \times k$ ‍ est une matrice $m \times k$ ‍.

On va examiner ces propriétés l'une après l'autre.

Prérequis :

Chacun des éléments de la matrice produit est le produit scalaire du vecteur associé à l'une des lignes de la première matrice et du vecteur associé à l'une des colonnes de la deuxième matrice.

Si nécessaire, reportez-vous à la leçon Multiplier deux matrices.

et aux leçons :

La multiplication matricielle n'est pas commutative

La différence majeure entre la multiplication dans l'ensemble des matrices et la multiplication dans l'ensemble des réels est que la multiplication dans l'ensemble des matrices n'est pas commutative.

Donc il n'est pas vrai que quelles que soient les matrices

A

B

, la matrice produit

A \times B

est égale à la matrice

B \times A

Vérifiez-le vous même !

Si par exemple,

A = [\begin{array}{rr} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array}]

B = [\begin{array}{rr} 6 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}]

1) Calculer $A \times B$ ‍ et $B \times A$ ‍.

$A \times B =$ ‍	$B \times A =$ ‍

[J'ai besoin d'aide.]

Les deux matrices produit sont différentes.

A \times B \neq B \times A

, donc la multiplication matricielle n'est pas commutative.

Mise à part cette différence, les propriétés de la multiplication dans l'ensemble des matrices sont analogues aux propriétés de la multiplication dans l'ensemble des réels.

La multiplication matricielle est associative : quelles que soient les matrices $A$ ‍, $B$ ‍ et $C$ ‍, $(A \times B) \times C = A \times (B \times C)$ ‍

On peut regrouper comme l'on veut les matrices à multiplier.

On peut d'abord multiplier les matrices

A

B

puis multiplier le résultat par la matrice

C

, ou d'abord multiplier les matrices

B

C

puis multiplier le résultat par la matrice

A

Mais attention, il ne faut pas modifier l'ordre des matrices du produit puisque la multiplication n'est pas commutative.

[voir un exemple]

La distributivité de la multiplication sur l'addition

C'est la même propriété que celle la multiplication dans l'ensemble des réels.

Quelles que soient les matrices $A$ ‍, $B$ ‍ et $C$ ‍, $A (B + C) = A B + A C$ ‍
Quelles que soient les matrices $A$ ‍, $B$ ‍ et $C$ ‍, $(B + C) A = B A + C A$ ‍

Attention à bien respecter l'ordre des facteurs, c'est-à-dire à multiplier chacune des matrices de la somme

B + C

par la matrice

A

, soit à gauche, soit à droite.

[voir un exemple]

L'élément neutre de la multiplication matricielle

La matrice identité de dimension

n \times n

, notée

I_{n}

, est une matrice carrée de

n

lignes et

n

colonnes. Tous les éléments de sa diagonale sont égaux à

1

et tous les autres éléments sont égaux à

0

Par exemple :

I_{2} = [\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] I_{3} = [\begin{array}{rr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] I_{4} = [\begin{array}{rr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]

Quelle que soit la matrice

A

de dimension

n \times n

, si on la multiplie, à droite ou à gauche par la matrice

I_{n}

, on obtient la matrice

A

elle-même. Quelle que soit la matrice

A

A \times I = I \times A = A

[voir un exemple]

Dans l'ensemble des réels, quel que soit

a

a \times 1 = a

1 \times a = a

. Le rôle de la matrice identité

I_{n}

dans l'ensemble des matrices

n \times n

est le même que celui de

1

dans l'ensemble des réels.

Multiplication par la matrice nulle

Une matrice nulle est une matrice dont tous les éléments sont égaux à

0

. Par exemple, la matrice nulle de dimension

3 \times 3

est la matrice

O_{3 \times 3} = [\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

Dans toute la suite on désignera la matrice nulle par

O

. Si nécessaire, on peut mettre sa dimension en indice.

Quelle que soit la matrice

A

de dimension

n \times n

, la matrice produit de la matrice

A

par la matrice nulle de dimension

n \times n

est la matrice nulle de dimension

n \times n

. Quelle que soit

A

A \times O = O \times A = O

[voir un exemple]

Dans l'ensemble des réels, quel que soit

a

a \times 0 = 0

0 \times a = 0

. Le rôle de la matrice nulle dans l'ensemble des matrices

n \times n

est le même que celui de

0

dans l'ensemble des réels.

Dimensions des matrices du produit et dimension de la matrice produit

Rappel :

Pour que le produit de deux matrices soit défini, il faut que le nombre de colonnes de la première matrice soit égal au nombre de lignes de la deuxième.
Si la matrice produit existe, elle a le même nombre de lignes que la première matrice et le même nombre de colonnes que la deuxième.

Par exemple, si

A

est une matrice

3 \times 2

B

une matrice

2 \times 4

matrix, alors

La matrice produit $A B$ ‍ est définie.
$A B$ ‍ est une matrice $3 \times 4$ ‍.

À vous !

Voici des exercices dans lesquels il faut appliquer ces propriétés.

Dans les trois exercices,

A

B

C

sont des matrices

2 \times 2

O

est la matrice nulle de dimension

2 \times 2

4) Quelles que soient les matrices $A$ ‍, $B$ ‍ et $C$ ‍, la matrice produit $A \times (B + C)$ ‍ est égale à :

[J'ai besoin d'aide.]

3) Quelles que soient les matrices $A$ ‍ et $B$ ‍, la matrice produit $I_{2} \times (A B)$ ‍ est égale à :

[J'ai besoin d'aide.]

4) Quelles que soient les matrices $A$ ‍ et $B$ ‍, la matrice produit $O \times (A + B)$ ‍ est égale à :

[J'ai besoin d'aide.]

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