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Cours : 5e et 6e année secondaires - PES > Chapitre 4

Leçon 1: Opérations sur les matrices

Les propriétés de la multiplication d'une matrice par un scalaire

A

B

sont des matrices de même dimension,

c

d

sont des scalaires et

O

et la matrice nulle.

Propriété	Exemple
La multiplication par un scalaire est associative	Quels que soient les réels $c$ ‍, $d$ ‍ et la matrice $A$ ‍, $(c d) A = c (d A)$ ‍
La multiplication par un scalaire est distributive sur l'addition	$c (A + B) = c A + c B$ ‍
	$(c + d) A = c A + d A$ ‍
$1$ ‍ est l'élément neutre	$1 A = A$ ‍
Le produit de la matrice nulle par un scalaire est la matrice nulle	$0 \times A = O$ ‍
	$c \times O = O$ ‍
La multiplication par un scalaire est une loi interne dans chacun des ensembles de matrices de même dimension	Si $A$ ‍ est une matrice de dimension $m \times n$ ‍, quel que soit $c$ ‍, la matrice $c A$ ‍ est une matrice de dimension $m \times n$ ‍.

Cette leçon porte sur ces propriétés de la multiplication d'une matrice par un scalaire.

Multiplier une matrice par un scalaire

Une matrice est un tableau de nombres qui comporte des lignes et des colonnes.

Quand on travaille dans l'ensemble des matrices, pour éviter toute confusion on utilise le terme scalaire pour désigner un nombre réel.

Pour multiplier une matrice par un scalaire, on multiplie chacun des éléments de la matrice par le scalaire.

\begin{aligned} 2 \times [\begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] & = [\begin{array}{ll} 2 \times 5 & 2 \times 2 \\ 2 \times 3 & 2 \times 1 \end{array}] = [\begin{array}{rr} 10 & 4 \\ 6 & 2 \end{array}] \end{aligned}

Si nécessaire, reportez-vous aux leçons précédentes :

Dimension

L'exemple précédent montre que le produit d'une matrice

2 \times 2

par un scalaire est une matrice

2 \times 2

. De façon générale, le produit d'une matrice par un scalaire est une matrice de même dimension. On dit que la multiplication par un scalaire est une loi interne dans l'ensemble des matrices de même dimension.

Multiplication d'une matrice par un scalaire et multiplication de deux rééls

La multiplication d'une matrice par un scalaire est définie à partir de la multiplication dans l'ensemble des réels donc ces deux multiplications ont des propriétés analogues.

On va examiner chaque propriété l'une après l'autre.

La multiplication d'une matrice par un scalaire est associative : $(c d) A = c (d A)$ ‍

Autrement dit, si on doit multiplier une matrices par deux scalaires on peut commencer par multiplier les deux scalaires, et ensuite multiplier la matrice par le résultat, et on peut aussi multiplier la matrice par le premier scalaire, et ensuite multiplier la matrice obtenue par le deuxième scalaire.

Voici la justification sur un exemple où

c = 2

d = 3

A = [\begin{array}{rr} 5 & 4 \\ 8 & 1 \end{array}]

L'associativité de la multiplication par un scalaire repose sur l'associativité de la multiplication dans l'ensemble des réels. L'élément de la première ligne et de la première colonne

(2 \times 3) \times 5

est égal à

2 \times (3 \times 5)

et comme on peut écrire le même type d'égalité pour chacun des éléments du produit

(c d) \times A

, on en déduit que

(c d) \times A = c \times (d A)

La distributivité de la multiplication par un scalaire sur l'addition

$c (A + B) = c A + c B$ ‍

La multiplication par un scalaire est distributive sur l'addition.

Voici la justification sur un exemple où

c = 2

A = [\begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]

B = [\begin{array}{rr} 3 & 4 \\ 2 & 6 \end{array}]

La distributivité de la multiplication par un scalaire sur l'addition repose sur la distributivité de la multiplication sur l'addition dans l'ensemble des réels. L'élément de la première ligne et de la première colonne

2 \times (5 + 3)

est égal à

2 \times 5 + 2 \times 3

et comme on peut écrire le même type d'égalité pour chacun des éléments du produit

c (A + B)

, on en déduit que

c (A + B) = c A + c B

$(c + d) A = c A + d A$ ‍

Le produit de la somme de

c

d

par la matrice

A

est égal à la somme du produit de

c

par la matrice

A

et du produit de

d

par la matrice

A

Voici la justification sur un exemple où

c = 2

d = 3

A = [\begin{array}{rr} 6 & 9 \\ 7 & 4 \end{array}]

L'identité

(c + d) A = c A + d A

repose là encore sur la distributivité de la multiplication sur l'addition dans l'ensemble des réels.

$1$ ‍ est l'élément neutre de la multiplication par un scalaire : $1 \times A =$ ‍

Quelle que soit la matrice

A

, le produit de

A

par

1

est la matrice

A

elle-même

Par exemple, si

A = [\begin{array}{rr} 2 & 5 \\ 1 & 7 \end{array}]

\begin{aligned} 1 [\begin{array}{rr} 2 & 5 \\ 1 & 7 \end{array}] & = [\begin{array}{rr} 1 \times 2 & 1 \times 5 \\ 1 \times 1 & 1 \times 7 \end{array}] = [\begin{array}{rr} 2 & 5 \\ 1 & 7 \end{array}] \end{aligned}

De même que

1

est l'élément neutre de la multiplication dans l'ensemble des réels, c'est-à-dire que pour tout

a

1 \times a = a

1

est l'élément neutre de la multiplication par un scalaire dans l'ensemble des matrices.

Multiplication d'une matrice par $0$ ‍ et multiplication de la matrice nulle par un scalaire

Quelle que soit la matrice $A$ ‍, $0 \times A = O$ ‍

Plus précisément, quelle que soit la matrice

A

de dimension

m \times n

, son produit par

0

est la matrice nulle de dimension

m \times n

Ceci repose sur la propriété de la multiplication par

0

dans l'ensemble des réels : quel que soit le réel

a

0 \times a = 0

. Voici un exemple :

\begin{aligned} 0 [\begin{array}{rr} 3 & 8 \\ 6 & 7 \end{array}] & = [\begin{array}{rr} 0 \times 3 & 0 \times 8 \\ 0 \times 6 & 0 \times 7 \end{array}] = [\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}] \end{aligned}

Quel que soit le réel $c$ ‍, $c \times O = O$ ‍

Le produit de la matrice nulle de dimension

m \times n

par un scalaire est la matrice nulle de dimension

m \times n

Là encore, ceci repose sur la propriété de la multiplication par

0

dans l'ensemble des réels. Voici un exemple où

c = 3

et où

O

est la matrice nulle de dimension

2 \times 2

\begin{aligned} 3 [\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}] & = [\begin{array}{rr} 3 \times 0 & 3 \times 0 \\ 3 \times 0 & 3 \times 0 \end{array}] = [\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}] \end{aligned}

À vous !

Voici des exercices dans lesquels il faut appliquer ces propriétés.

Dans les deux exercices,

A

B

sont des matrices

2 \times 2

c

d

sont des scalaires.

1) Quelles que soient les matrices $A$ ‍ et $B$ ‍ et quel que soit le réel $c$ ‍, le produit $c (1 A + B)$ ‍ est égal à :

2) Quelle que soit la matrice $A$ ‍ et quels que soient les réels $c$ ‍ et $d$ ‍, la somme $(c d) A + 0 A$ ‍ est égale à :

La somme donnée est

(c d) A + 0 A

On utilise les propriétés des opérations matricielles :

\begin{aligned} (c d) A + 0 A & = (c d) A + O & car la matrice produit d’une matrice par 0 est la matrice nulle \\ = (c d) A & car la matrice nulle est l’élément neutre de l’addition \\ = c (d A) & car la multiplication d’une matrice par un scalaire est associative \end{aligned}

Et la multiplication est distributive sur l'addition, donc

(c d) A + 0 A = (c d + 0) A

Les réponses sont :

$c (d A)$ ‍
$(c d + 0) A$ ‍

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5e et 6e année secondaires - PES

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Multiplier une matrice par un scalaire

Dimension

Multiplication d'une matrice par un scalaire et multiplication de deux rééls

La multiplication d'une matrice par un scalaire est associative : (cd)A=c(dA)‍

La distributivité de la multiplication par un scalaire sur l'addition

c(A+B)=cA+cB‍

(c+d)A=cA+dA‍

1‍ est l'élément neutre de la multiplication par un scalaire : 1×A=‍

Multiplication d'une matrice par 0‍ et multiplication de la matrice nulle par un scalaire

Quelle que soit la matrice A‍ , 0×A=O‍

Quel que soit le réel c‍ , c×O=O‍

À vous !

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La multiplication d'une matrice par un scalaire est associative : $(c d) A = c (d A)$ ‍

$c (A + B) = c A + c B$ ‍

$(c + d) A = c A + d A$ ‍

$1$ ‍ est l'élément neutre de la multiplication par un scalaire : $1 \times A =$ ‍

Multiplication d'une matrice par $0$ ‍ et multiplication de la matrice nulle par un scalaire

Quelle que soit la matrice $A$ ‍, $0 \times A = O$ ‍

Quel que soit le réel $c$ ‍, $c \times O = O$ ‍