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5e et 6e année secondaires - PES

Cours : 5e et 6e année secondaires - PES > Chapitre 4 

Leçon 4: Systèmes d'équations et les matrices
Mathématiques
5e et 6e année secondaires - PES
Calcul matriciel
Systèmes d'équations et les matrices
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Opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice

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.

Opérations sur les lignes d'une matrice

Voici les trois opérations élémentaires que l'on peut faire sur les lignes d'une matrice :
OpérationExemple
Echanger deux lignes[253346]→[346253]  (On a eˊchangeˊ la ligne 1 et la ligne 2.)\left[\begin{array}{rr}{\blueD2} & {\blueD5} &{ \blueD{3}} \\ \greenD{3} &\greenD {4} &\greenD {6} \end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{rr} \greenD{3} & \greenD{4} &\greenD {6}\\\blueD{2} &\blueD {5} &\blueD{ 3} \end{array}\right]\\\\~~\\ \\ {\text{(On a échangé la ligne 1 et la ligne 2.)}}
Multiplier les éléments d'une ligne par un réel différent de 0[253346]→[3×23×53×3346] (On a multiplieˊ les eˊleˊments de la ligne 1 par 3.)\left[\begin{array}{rr}{\maroonD2} & {\maroonD5} &{ \maroonD3} \\ {3} & {4} & {6} \end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{rrr}{\goldD3 \times\maroonD2} & {\goldD3 \times \maroonD5} &{ \goldD3 \times\maroonD3} \\ { 3} & { 4} & { 6} \end{array}\right] \\~\\ {\text{(On a multiplié les éléments de la ligne 1 par 3.)}}
Additionner deux lignes[253346]→[2533+24+56+3]  (On a remplaceˊ la ligne 2 par la somme des lignes 1 et 2.)\left[\begin{array}{rr}{\tealD2} &\tealD5 &{ \tealD{3}} \\ \purpleC{3} &\purpleC {4} &\purpleC {6} \end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{rrr} {\tealD2} &\tealD5&{\tealD3}\\\purpleC{3}+\tealD2 & \purpleC{4}+\tealD5 &\purpleC{6} +\tealD3\end{array}\right]\\~~\\ {\text{(On a remplacé la ligne 2 par la somme des lignes 1 et 2.)}}
Le but est de faciliter la résolution du système auquel est associé la matrice. Avant d'étudier comment, un peu d'entraînement à ces opérations.

Échanger deux lignes

Exemple

Appliquer l'opération L, start subscript, 1, end subscript, \leftrightarrow, L, start subscript, 2, end subscript à cette matrice.
[483245712]\left[\begin{array} {rrr} 4 & 8 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right]

Réponse

L, start subscript, start color #11accd, 1, end color #11accd, end subscript, \leftrightarrow, L, start subscript, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, end subscript signifie échanger la ligne start color #11accd, 1, end color #11accd et la ligne start color #1fab54, 2, end color #1fab54.
La matrice [483245712]\left[\begin{array} {rrr} \blueD4 & \blueD8 & \blueD{3} \\ \greenD2 & \greenD4 & \greenD5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right] devient [245483712]\left[\begin{array} {rrr} \greenD2 & \greenD4 & \greenD5 \\ \blueD4 & \blueD8 & \blueD{3} \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right] .
Ce qui peut être noté :
[483245712]→L1↔L2[245483712]\left[\begin{array} {rrr} 4 & 8 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right] \xrightarrow{{L_1\leftrightarrow L_2}}\left[\begin{array} {rrr} 2 & 4 & 5 \\ 4 &8 & 3 \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right]
La ligne 1 est remplacée par la ligne 2 et la ligne 2 par la ligne 1. La ligne 3 est inchangée.
Exercice 1
  • Actuelle
Appliquer l'opération L, start subscript, 2, end subscript, \leftrightarrow, L, start subscript, 3, end subscript à cette matrice.
[7296411312]\left[\begin{array} {rrr} 7 & 2 & 9 \\ 6 & 4 & 1 \\ 1 & 3 & 12 \end{array} \right]

Multiplier les éléments d'une ligne par un réel différent de 0

Exemple

Appliquer l'opération 3, L, start subscript, 2, end subscript, right arrow, L, start subscript, 2, end subscript à cette matrice.
[661230459]\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right]

Réponse

start color #ca337c, 3, end color #ca337c, L, start subscript, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, end subscript, right arrow, L, start subscript, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, end subscript signifie remplacer la start color #e07d10, 2, start text, e, end text, end color #e07d10 ligne par son produit par start color #ca337c, 3, end color #ca337c.
[661230459]\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ \goldD{2} & \goldD{3} & \goldD{0} \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right] devient [6613×23×33×0459]=[661690459]\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ \maroonD{3}\times \goldD{2} &\maroonD{3}\times \goldD{3} &\maroonD{3}\times \goldD{0} \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right] =\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ 6 & 9 & {0} \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right]
Ceci peut être noté :
[661230459]→3R2→R2[661690459]\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right] \xrightarrow{3R_2\rightarrow R_2}\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ 6 & 9 & {0} \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right]
Chacun des éléments de la deuxième ligne est multiplié par 3. Les deux autres lignes sont inchangées.
Exercice 3
  • Actuelle
Appliquer l'opération 2, L, start subscript, 1, end subscript, right arrow, L, start subscript, 1, end subscript à cette matrice.
[26517480]\left[\begin{array} {ccc} 2 & 6 & 5 & 1 \\ 7 & 4 & 8 & 0 \end{array} \right]

Additionner deux lignes

Exemple

Appliquer l'opération L, start subscript, 1, end subscript, plus, L, start subscript, 2, end subscript, right arrow, L, start subscript, 2, end subscript à cette matrice.
[234081]\left[\begin{array} {rrr} 2 & 3 & 4\\ 0 & 8 & 1 \end{array} \right]

Réponse

L, start subscript, start color #01a995, 1, end color #01a995, end subscript, plus, L, start subscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end subscript, right arrow, L, start subscript, 2, end subscript signifie remplacer la 2, start text, e, end text ligne par la somme de la start color #01a995, 1, start text, e, with, \`, on top, r, e, end text, end color #01a995 ligne et de la start color #aa87ff, 2, start text, e, end text, end color #aa87ff ligne.
[234081]\left[\begin{array} {rrr} \tealD2 & \tealD{3} &\tealD{ 4}\\ \purpleC0 & \purpleC8 & \purpleC1 \end{array} \right] devient [2342+03+84+1]=[2342115]\left[\begin{array} {lll} \tealD2 &{\tealD3} &{ \tealD4}\\ \tealD2+\purpleC0 & \tealD3+\purpleC8 & \tealD4 +\purpleC1 \end{array} \right]= \left[\begin{array} {rrr} 2 & 3 & 4\\ 2 & 11 & 5 \end{array} \right]
Ceci peut être noté :
[234081]→R1+R2→R2[2342115]\left[\begin{array} {rrr} 2 & 3 & 4\\ 0 & 8 & 1 \end{array} \right] \xrightarrow{R_1+R_2\rightarrow R_2} \left[\begin{array} {rrr} 2 & 3 & 4\\ 2 & 11 & 5 \end{array} \right]
La ligne 2 est remplacée par la somme de la ligne 2 et de la ligne 1.
Exercice 5
  • Actuelle
Appliquer l'opération L, start subscript, 1, end subscript, plus, L, start subscript, 3, end subscript, right arrow, L, start subscript, 3, end subscript à cette matrice.
[−16−2−350721]\left[\begin{array} {rrr} -1 & 6 & -2 \\ -3 & 5 & 0 \\ 7 & 2 & 1 \end{array} \right]

Un dernier exercice
Appliquer l'opération L, start subscript, 1, end subscript, plus, 2, L, start subscript, 3, end subscript, right arrow, L, start subscript, 1, end subscript à cette matrice.
[−573−2−1488−6]\left[\begin{array} {rrr} -5 & 7 & 3 \\ -2 & -1 & 4 \\ 8 & 8 & -6 \end{array} \right]

Les systèmes d'équations et les opérations sur les lignes de la matrice associée

Dans la matrice augmentée associée à un système linéaire, le nombre de lignes est égal au nombre d'équations du système. Les premières colonnes sont constituées des coefficients des variables et la dernière colonne est constituée des constantes qui sont à droite du signe equals.
Par exemple, voici un système et la matrice augmentée qui lui est associée :
SystèmeMatrice
1x+3y=52x+5y=6\begin{aligned} 1x+3y &=5\\2x+5y &=6\end{aligned}[135256]\left[\begin{array}{cc:c}1&3&5\\\\2&5&6\end{array}\right]
Si on applique une opération sur les lignes à la matrice augmentée d'un système linéaire, on obtient une nouvelle matrice augmentée qui est celle d'un système équivalent au système initial. On va le justifier.

Échanger deux lignes

Systèmes équivalentsMatrices augmentées
1x+3y=52x+5y=6\begin{aligned} \blueD1x+\blueD3y &=\blueD{5} \\\greenD{2}x+\greenD{{5}}y &=\greenD{6} \end{aligned} [135256]\left[\begin{array}{cc:c}\blueD1&\blueD3&\blueD5\\\\\greenD2&\greenD5&\greenD6\end{array}\right]
\downarrow
2x+5y=61x+3y=5\begin{aligned}\greenD{2}x+\greenD{{5}}y &=\greenD{6}\\ \blueD1x+\blueD3y &=\blueD{5} \end{aligned}[256135]\left[\begin{array}{cc:c}\greenD2&\greenD5&\greenD6\\\\\blueD1&\blueD3&\blueD5\end{array}\right]
Les deux systèmes sont équivalents car l'ensemble des solutions d'un système n'est pas modifié si on modifie l'ordre des équations. Ce résultat est général, donc on peut échanger deux lignes dans la matrice augmentée d'un système.

Multiplier les éléments d'une ligne par un réel différent de 0

Si on multiplie les deux membres d'une équation par un réel non nul, on obtient une équation équivalente à l'équation initiale.
En multipliant les deux membres d'une équation d'un système par un réel non nul, on obtient une équation équivalente à l'équation initiale, donc le nouveau système obtenu est aussi équivalent au système initial.
Systèmes équivalentsMatrices augmentées
1x+3y=52x+5y=6\begin{aligned} \maroonD1x+\maroonD3y &=\maroonD5 \\2x+5y &=6\end{aligned} [135256]\left[\begin{array}{cc:c}\maroonD1 & \maroonD3 &\maroonD5 \\2&5&6\end{array}\right]
\downarrow
−2x+(−6)y=−102x+(−)5y=6\begin{aligned}\goldD{-2}x+(\goldD{-6})y &=\goldD{-10} \\2x+\phantom{(-)}5y &=6\end{aligned} [−2−6−10256]\left[\begin{array}{rr:r}\goldD{-2}&\goldD{-6}& \goldD{-10}\\2&5&6\end{array}\right]
Donc on peut multiplier par un réel non nul l'une des lignes de la matrice augmentée d'un système.

Additionner deux lignes

Si on ajoute des quantités égales aux deux membres d'une équation, on obtient une équation équivalente à l'équation initiale.
Si A, equals, B et C, equals, D, alors A, plus, C, equals, B, plus, D.
Quand on résout un système de deux équations par addition, on remplace l'une des équations par la somme des deux. Par exemple, pour résoudre le système −2x−6y=−102x+5y=6\begin{aligned}-2x-6y &=-10 \\ {2}x+{{5}}y &={6}\end{aligned}, on additionne les deux équations membre à membre, pour obtenir l'équation minus, y, equals, minus, 4.
Le système obtenu en remplaçant l'une des équations par cette nouvelle équation est équivalent au système initial.
Systèmes équivalentsMatrices augmentées
−2x−6y=−102x+5y=6\begin{aligned} -2x-6y &=-10\\2x+5y &=6\end{aligned} [−2−6−10256]\left[\begin{array}{rr:r}-2&-6&-10\\2&5&6\end{array}\right]
\downarrow
−2x+(−6)y=−100x+(−1)y=−4\begin{aligned}-2x+(-6)y &=-10\\\purpleC0x+(\purpleC{-1})y &=\purpleC{-4} \end{aligned}[−2−6−100−1−4]\left[\begin{array}{rr:r}-2&-6&-10\\\purpleC0&\purpleC{-1}&\purpleC{-4}\end{array}\right]
Donc on peut additionner deux lignes de la matrice augmentée d'un système.
Un dernier exercice
On a appliqué une suite d'opérations sur les lignes de la matrice [2210−2−33]\left[\begin{array}{rrr}{2} & {2} &{ 10} \\ {-2} & {-3} & {3} \end{array}\right]. Les résultats de chacune de ces opérations sont donnés dans le tableau.
Replacer les opérations appliquées dans le bon ordre.
Matrice initiale : [2210−2−33]\left[\begin{array}{rr:r}2&2&10\\-2 & -3 & 3\end{array}\right]
1

La matrice donnée est celle du système 2x+2y=10−2x−3y=3\begin{aligned} 2x+2y &={10} \\ {-2}x-3y &={ 3} \end{aligned}, et la matrice obtenue est celle du système x=18y=−13\begin{aligned} x&=18 \\ y&=-13 \end{aligned} où le couple solution est en évidence.
On a résolu le système en appliquant des opérations aux lignes de la matrice !

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