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Contenu principal
Heure actuelle :0:00Durée totale :6:09

Aire du domaine délimité par deux courbes définies en coordonnées polaires

Transcription de la vidéo

nous avons ici deux graphes encore donné polaire le graphe feu rouge c'est le crafter égal 3 s'illustre état le graphe noir ces graves de vayres égal 3 caussinus teta et et tu t'en doutes bien ce qu'on veut c'est calculé l'air qui est en bleu ciel ici entre les deux graphes alors je t'encourage à mettre la vidéo en pause est trouvé un moyen de le faire ok alors ce qu'ont pu remarquer c'est déjà l'endroit où les deux graphes se courbe on peut il remarqué qu'ils ont l'air de se couper exactement porte et à égal pis sur quatre et ça se vérifie facilement d'ailleurs parce que lorsqu'on lorsqu'on calcule 3 caussinus deux pistes sur quatre et trois sinus deux pistes sur quatre évidemment ça fait la même chose on connaît nos valeurs particulières de cosinus et sinus et on sait que le cosinus il sinus depuis sur quatre sont égaux à racine de 2 sur 2 donc 3 co 6 2 puis sur 4 et 3 6 2 puis sur quatre prennent la même valeur et donc le graphe ce et donc les deux graves ce couple ici grille à l'endroit où les graves se coupe c'est l'endroit où la limite de notre ère change c'est pour ça que ça va avoir de l'importance et là où la limite de notre ère change nous on va devoir changer d'intégrale sont à devoir changer de fonction à intégrer c'est c'est le prince c'est un des principes fondamentaux des du calcul intégral si on regarde par exemple sousse soubie sur quatre est remportée tavaria entre 0 et puis sur quatre notre ère qu'on veut calculer pour cette région là elle est délimité par trois sinus l'état est au dessus depuis sur casters pour pour air variant entre pie sur quatre épis sur deux notre ère et délimiter la frontière de notre ère c'est le graphe noir c3 caussinus l'état et donc si on veut si on veut qu'elle que notre région falloir additionner les airs de ces deux régions qu'on peut écrire avec une seule intégral donc l'air de la région rose lasser on applique la formule qu'on a vu un demi de l'intégrale de 0 1 me sur quatre de la fonction car et c'est à dire trois signes steta le tout au carré des états et quand tu as l'air de la région qui est en bleu et bien c'est un demi de l'intégrale cette fois notre tête avarie depuis sur quatre jusqu'à pis sur deux de 20 l'autre fonction cette fois c'est l'autre la limite cette fois c'est 3 caussinus teta au carré fouad et état et voilà donc si on calcule ses deux intégrales qu'on additionne les résultats on aura l'air que l'on veut maintenant on peut se simplifier la tâche en constatant que ces deux régions bleu et rose là son père son symétrique par rapport à la droite et à égal pis sur quatre est que dans le si elles sont symétriques c2r sont égales et il suffit d'en calculer une évidemment il faut le démontrer pour être rigoureux je te laisse ça en exercice a assez c'est une petite vérification qui se fait même si on n'arrive pas à le démontrer on calcule les deux intégrales et on les additionne en admettant qu'on l'ait démontrer je vais dire que mon art total c'est tout simplement deux fois à l'air en rose puisque les rangs bleus c'est égal 2 c'est égal à l'air en rose donc deux fois un demi c'est à dire je l'écris plus de trois signes steta au carré 3 sinus titao carré quand l'élève et congés et vos carrés ça fait 9 sinus karité tu as donc ça va faire neuf que sort de l'intégrale intégral entre 0 et pis sur quatre de sinus occar et et à des détails donc ça c'est tout mon air il faut que je calcule cette intégrale donc il faut que je trouve une primitive asinus car et état alors sous la forme sinus carette et à c'est pas facile de trous de voir une primitive maintenant les sinus karelé caussinus carré on peut les transformer en une expression dont on peut voir facilement une primitive un faut se rappeler que tout ça vient de l'égalité de cosinus de teta cosim de deux états c'est caussinus karité à -6 nu scarlett état et en la transformant comme il faut avec le théorème de pythagore on trouve que sinus carette états c'est la même chose que 1/2 facteur de 1 - caussinus de d'état donc en remplaçant dans l'intégrale je sors le 1/2 de l'intégrale ça va me donner neuf demi de l'intégrale entre 0 et puis sur 4 2 1 - caussinus de ttad d'état ça me donc de neuf demi 2 hélas ce qu'il ya sous l'intégrale je sais en trouver une primitive primitif de 1,7 à puisqu'on est en dette et à notre variable ne te regarde cet état et la primitive de cosinus de tu est assez facile c'est 2 à l'intérieur du caussinus une fonction affine donc on dérive par la dérive et de l'intérieur on divise par la dérive et de l'intérieur donc on divise par 2 qui nous donnera un 2002 on sait qu aux sinus et la dérive et de sinus c'est un demi de sinus de teta l'a donc si tu veux vérifier quand on dérive 1/2 de sinus de teta ben hassine us de teta sa dérive et ses deux fois caussinus de teta x le 1/2 ça nous fera une fois caussinus de teta et de deux états et avec le moins de vent on obtient exactement ce que l'on veut ça c'est la prend d'une primitif d'une fonction composé par une fonction affine c'est quelque chose qu'il faut savoir ferme et donc tout ceci a évalué entre 0 et pis sur quatre donc là maintenant on remarque fort heureusement pour nous que lorsque tu es tavaux 0 tout ce qui est d'entre eux crochet vos héros donc on n'a plus qu'à évaluer en pis sur 4 donc allons-y nous fait neuf demi de des tavaux pis sur quatre - 1/2 de sinus de deux fois puis sur quatre à deux fois puis sur quatre seppi sur deux dans 1/2 de sinus pis sur deux et là encore on sait que lorsqu'on lorsqu'on connaît bien nos valeurs des sinus et des caussinus pour les angles particulier on doit savoir que sinus de pi sur deux ça vaut un donc sinus depuis sur deux puisque sa voix c'est pas la peine de l'écrire x 1c ne rien faire du tout donc ces neuf demi fois je vais tout réduire ou même dénominateur jeu pas obligé mais bon je le fais pipi - 2 sur 4 voilà et si je veux vraiment je vais multiplier la ya aucune obligation à le faire on pourrait satisfaire de cette réponse mais bon on va multiplier quand même on développe ça fait 9 bis - 18 sur 4 x 2 sur 8 et voilà donc notre ère un 9 10 - 18 sur huit unités d'air mon repère encore donné polaire