Aire du flocon de Koch (partie 1)

maintenant on sait calculer l'air d'un triangle équilatéral de co ts puisqu'on a vu ça dans une vidéo précédente et voilà la formule qui donne l'air de ce triangle équilatéral decaux tss au carré foire acide de 3,2 tout divisé par 4 voilà alors maintenant ce que je vais faire dans cette vidéo s'est essayé de calculer l'ère du flocon coque est alors le flou contre coke on a vu ce que c'était dans une vidéo précédente pour le construire on part d'un triangle équilatéral je veux le faire rapidement l'a ensuite on divise chaque côté en trois parties et on fait on trace un triangle équilatéral à partir du segment du milieu voilà on fait ça sur chaque côté ça donne ça ça c'est la première étape et puis à la deuxième étape on fait la même chose sur chaque côté donc voilà on prince un triangle équilatéral sur le coté sur le segment du milieu pardon voilà et puis on continue à ça c'est la première étape on peut on le fait une deuxième étape on refait sa sur chaque côté de la figure qu'on a obtenus et ainsi de suite indéfiniment alors ça c'est le flocon de coqs et on avait vu dans une vidéo précédente que c'est une figure assez étrange parce que c'est une figure qui a un périmètre infinie mais une aire fini alors mr fini on avait évoqué ça on avait justifié vu un petit peu pourquoi l'air était était fini mais on n'avait pas démontré de mary but et rigoureuse alors c'est ce qu'on va faire ici dans cette vidéo on va essayer de démontrer de calculer l'air de cette figure alors je vais faire un petit peu de place voilà alors j'ai commencé par dessiner un triangle équilatéral propres voilà dernier côté pas très joli voilà deux co ts mesure du coter cs alors maintenant ce que je vais faire c'est construire petit à petit pas à pas le flocon de coke à partir de ce triangle et puis je vais utiliser à chaque fois cette formule là puisque en fait le flocon de cox est une une succession de triangles équilatéraux alors je vais garder trace du nombre de côtés de la figure qu'on a obtenus à chaque étape ça je vais l'écrire ici côté salah ici je vais écrire le nombre de côtés de la figure a qu'à chaque étape et puis en dessous je vais calculé l'air en ajoutant à chaque fois l'air des triangles équilatéraux qu'on a ajouté à chaque étape alors du coup je commence ici au début on a un triangle équilatéral de côté s est à trois côtés donc je vais noter ici que trois côtés puis je vais calculé l'air de ce triangle équilatéral cso carré fois racines de trois sur quatre donc ça elle socar est fois racines de 3 sur 4 ça c'est ce qu'on obtient grâce à cette formule là que j'ai noté au début alors maintenant qu'est-ce qui se passe il se passe que quand je vais alors je vais mettre plutôt le s de l'autre côté ce sera plus facile voilà ça me laissera un peu plus de place alors la deuxième étape et ben je partage chaque côté en trois parties égales et je construis un triangle équilatéral à partir du segment du milieu voilà donc ici j'ai une des trois segments de longueur est ce sur trois sur trois est sur trois aces sur trois est là aussi gs sur trois puisque c'est un triangle équilatéral un don classé deux côtés la mesure s sur trois aussi alors ça ça veut dire que finalement la au départ j'avais un seul côté maintenant j'ai combien de côté j'ai un deux trois quatre côtés donc en fait chaque côté du triangle de l'étape précédente a été divisée a été multiplié par quatre donc finalement pour obtenir le nombre de côtés de la figure de l'étape de là dans l'étape à laquelle je suis maintenant il faut multiplier par quatre le nombre de côté lors roiron je vais faire la figure comme ça on va aussi vérifier que c'est vrai donc je vais tracé mon triangle équilatéral ici tracé le triangle équilatéral la voilà et donc j'ai 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 côté c'est à dire exactement ce que je disais tout à l'heure 3 x 4 donc pour obtenir le nombre de côtés de l'étape 2 à laquelle je suis maintenant je prends ce 3 et je vais le x 4 je vais multiplier par 4 ça me donne trois fois quatre ces douze donc finalement je peux dire que j'ai douze côté c'est que c'est ce que j'ai compté aussi donc ça va ça marche alors maintenant pour calculer l'air ici il faut que j'ajoute à l'air de ce premier grand prix ce triangle équilatéral de l'étape précédente il faut que j'ajoute claire des trois petits triangles que j'ai ajoutés ici en bleu donc ça va être trois fois trois fois l'air de chacun de ces petits triangles puisque sont ils ont la même aire sonné triangles équilatéraux de co ts sur trois alors du coup je vais appliquer cette formule là mais le côté c'est pas ss sur trois donc ça va être racines de trois fois s sur trois au carré le tout divisé par quatre voilà alors cette partie là c'est l'air d'un des triangles équilatéraux donc en bleu que j'ai ajouté en bleu donc si je multiplie par 3 j'ai bien l'air de cette étoile de david ici alors je vais maintenant continuer à l'étape avec l'étape suivante alors l'étape suivante qu'est ce que je fais mais je rajoute alors je vais je vais gommer un peu tout ça parce qu'on n'aura plus rien y comprendre voilà alors maintenant du coup pour l'étape suivante simplement je divise en trois parties égales chaque côté de l'étoile que j'ai dessiné et je trace un triangle équilatéral sur chaque segment du milieu de chaque côté voilà ce que je fais comme ça rapidement je le fais assez vite hein c'est juste pour qu'on se rappelle de l'étape à laquelle on est on voit bien ce qui se passe alors du coup ben là c'est comme tout à l'heure un chaque côté de la figure est maintenant devenu quatre côtés donc il faut encore pour trouver le nom de côté il faut encore multiplier par 4 donc là je vais partir de 12 au départ j'avais 12 côté enfin l'étape 2 j'avais 12 côté à l'étape 3 g 12 x 4 côté c'est-à-dire 48 là on pourrait encore le comté mais ce serait un petit peu long je te laisse le faire si tu veux t'en assuré alors maintenant j'essaie 48 côté et maintenant donc j'ai ajouté combien de triangles équilatéraux j'en ai ajouté un sur chaque côté donc j'en ai ajouté en fait 12 puisque j'avais 12 côté donc j'ai ajouté 12 triangles équilatéraux donc maintenant pour calculer l'air de la surface obtenu ici à l'est qu'à l'étape 3 à la troisième étape il faut que j'ajoute l'air de ses douze petits triangles équilatéraux que j'ai à jouer que j'ai dessiné en rose alors le côté de ces triangles équilatéraux c'est pas s sur trois ici celui ci on l'a divisé par trois donc au départ on partait d'un côté de longueur est sur trois qu'on divise par trois donc la longueur de que du côté des triangles équilatéraux dessinée en rose c'est pas être sur 3 c est sur neuf puisqu'on l'a divisé par trois donc là l'air de chaque triangle équilatéral c'est on va là calculé avec cette formule là mais remplaçant s parent s sur neuf et puis on va multiplier par 12 parce qu on a 12 triangles équilatéraux donc je vais ajouter donc 12 là c'est le nombre de triangles équilatéraux et maintenant l'air de ces triangle équilatéral or je vais l'écrire comme alors je mes racines de 3 x est-ce alors c'est pas s est s sur neuf le tout au carré et puis le tout divisé par quatre voilà alors ça c'est donc ce qu'on obtient à l'étape 3 alors bon je pense qu'on commence à voir ce qui se passe là mais je vais quand même rajouter une étape pour soit encore plus claire enfin pour essayer de clarifier un peu clarifiée encore plus alors à l'étape suivante le sais que je vais construire en fait un petit triangle équilatéral sur chaque côté de cette figure et comme j'ai 48 côté je vais avoir 48 triangles équilatéraux voilà dont je vais calculé l'air maintenant ici alors le côté de chacun de ces triangles équilatéraux ça sera on va partir d'un côté deux longueurs s sur neuf qu'on va diviser par 3 donc ça sera s sur 27 donc voilà maintenant je peux je vais écrire l'air de chacun des prix anglais cui latéraux qu'on ajoute à cette étape là donc ça va être racines de trois fois s / 27 puisque c'est s / 9 / 3 le tout au carré divisé par quatre voilà et puis ensuite on continue de cette manière la bombe je fais pas le faire mais on continuer indéfiniment jusqu'à écrire l'air de la surface entièrement donc donc il faut imaginer qu'on continue à ajouter des triangles équilatéraux comme ça à l'infini alors voilà on obtient une expression qui est un peu compliqué mais on peut essayer de la simplifier déjà on peut essayer de factoriser un certain nombre de choses qu'est ce qu'on voit qu'est ce qu'il ya comme facteur commun pour ya déjà ce 4 il ya le racine de 3 et l es au carré aussi puisque le s o car est on le retrouve à chaque fois donc c'est ce que je vais faire c'est ça je vais déjà factoriser s au carré fois racines de trois sur quatre alors je commence donc j'écris health au carré fois racines de trois sur quatre ça c'est le facteur commun alors ici il me reste donc 1 et puis ensuite je vais utiliser les couleurs alors dans le deuxième terme il me reste ce 3 qui est ici et puis ça je les enlever déjà ça se sache les meilleurs facteurs et j'ai mis le s o car est aussi donc il me reste un tiers au carré trois fois un tiers au carré voilà ça c'est le deuxième terme le troisième terme alors il me reste 12 ce 12 je vais l'écrire comme trois fois quatre comme ça je vais peut-être pouvoir me servir du fait qu'il ya 1,3 déjà ici donc je vais écrire comme je vais écrire trois fois quatre fois alors racines de trois sur quatre jeux déjà mis en facteur ix se caressent j'ai déjà mis un facteur il me reste 1 9e un neuvième un neuvième c'est un sur trois au carré le tout au carré alors ensuite le dernier le terme d'après c'est que ce 48 dont 48 c rappelez vous ces 3 x 4 x 4 on a encore multiplié par 4 donc ça je vais l'écrire comme ça 3 x 4 x 4 donc trois fois quatre au carré fois alors racines de trois sur quatre l'est déjà mis en facteur ix socar et j'ai déjà mis un facteur il me reste en fait un sur 27 aux carrés et un sur 27 c'est un sur trois au cube 1 sur 3 aux cubes le tout aux quarts et plus alors après les termes donc que j'ai pas explicité ici et qui correspondent aux itération successives de la construction du flocon de coke alors là on obtient quand on a obtenu quelque chose d'un peu plus lisible qu'avant alors si on regarde un peu plus précisément on voit que en fait à chaque étape on a multiplié par 4 en 1 4 qui augmente d'une puissance ici on a on peut imaginer que c'est un nom quatre puissances 0 là on a quatre donc quatre puissances 1,4 puissance 2 ici ça serait quatre puissances 3 et ainsi de suite donc donc à chaque fois on a une multiplication par 4 est donc un nez et donc 1 4 qui augmente d'exposants et puis on a aussi un autre terme qui augmente dont l'exposant augmente c'est celui ci se 3 ici ces trois puissances 1 la 3 ^ 3 ^ 3 et ainsi de suite 3 puissance 4 bon alors ce qu'il ya c'est que ici on a donc quatre puissances 0 et là trois puissances un ici quatre puissances 1 et l'a3 puissance 2 ici quatre puissances 2 et la 3 ^ 3 et en fait on voit qu'à chaque fois il le 3 est un exposant de plus que le 4 donc c'est pas très pratique est en fait la forme mules qui est donnée ici donne quand même envie de s'approcher d'une de la somme des termes d'une suite géométriques et pour ça il faudrait arriver à transformer l'expression pour avoir le 4 et le 3 qui sont tous les deux au même exposants alors pour faire ça en fait ce que je vais faire c'est que je vais x 4 là dedans tous les termes de cette de sept qui sont dans la parenthèse et du coup je vais devoir aussi divisée par quatre pour garder la même quantité donc je vais / 4 ici alors ça va me faire un quart fois s au carré fois racines de trois sur quatre et puis comme j'ai divisé par 4 ici je peux multiplier par 4 sans rien changer donc là j'ai eu une fois 4 ça fait 4 + 3 x 4 + 3 x 4 du coup au carré plus trois fois quatre puissances 3 et ainsi de suite alors maintenant c'est quand même un petit peu mieux puisqu'on a le 4 et le 3 dont les exposants augmente à chaque à chaque terme qui sont à la même voix la même puissance mais il ya quand même quelque chose qui va pas très bien c'est que ici en a quatre puissants saints ici on a trois puissants saints mais en fait on met le tout au carré là donc on va avoir finalement 1,1 sur trois au carré et ici on a quatre au carré là aussi on a trois au carré mais on met on élève le 3 le 1/3 aucun sur trois au carré on l'élève au carré donc il ya quelque chose qui cloche là dedans donc il faut arriver à simplifier sa alors pour ça on peut quand même se rappeler d'une propriété de des puissances c'est que si on a un sur trois puissances n ce qui est ce qu'on a la dent les parenthèses ici et qu'on l'élève au carré va finalement ça fait 1 sur 3 ^ zen et donc ça on peut l'écrire comme un sur trois au carré puissance n alors ça c'est intéressant parce que du coup je vais pouvoir réécrire tout ce qui est dans les parenthèses qui sont ici en terme à chaque fois 2 1 sur 3 aux carrés alors je vais je vais leur faire pour que ce soit un peu plus propre je vais leur écrire un peu plus proprement donc là ici ce terme là un quart fois s au carré sur un site x racines de 3 sur 4 ça devient s au carré foire à 6 une deux trois le tout sur 16 ici j'ai mon 4 plus alors ici j'ai mon trois fois quatre puissances un fois alors un sur trois au carré c'est enfin un tiers au carré le tout aux caresses et un sur trois au carré donc c'est un sur neuf et ça je vais écrire comme un sur neuf puissance un comme ça je vais faire apparaître ce terme 1 sur 9 alors ensuite je continue ici j'ai mon 3 toujours x 4 puissance deux fois 1 sur 3 ou carré ces neuf c1 sur neuf pardon voix 1 sur 9 le tout aux quarts et là on commence à voir un petit peu mieux ce qui se passe plus alors le terme suivant trois fois quatre au cube fois alors là j'ai un sur trois au cube le tout élevée au carré et c'est là où je vais me servir de la formule que j'ai donné ici alors quand je l'appliqué à ce cas particulier je peux écrire que 1 sur 3 aux cubes le tout au carré et bien c'est un sur trois au carré le tout est élevée au cube voilà ça c'est vraiment exactement cette même formule là avec n égale 3 donc là je peux finalement écrire 1 sur 9 1 sur 3 aux quarts et le taux élevé au cube plus ensuite les termes qui suivent que j'ai pas explicité et là on voit bien ce qui se passe ici on a quelque chose qui ressemble vraiment à la somme des termes d'une suite géométriques alors je vais quand même réécrire une ligne pour que ce soit encore plus qu'à encore plus clair donc gs au carré sur x racines de 3 sur 16 fois à leurs quatre plus trois fois alors là au lieu d'écrire 4 x 4 puissance 1 x 1 sur 9 puissance 1 je vais directement écrire 4 sur 9 puissance un +3 et là je vais faire la même chose au lieu d'écrire 4 au carré fois un sur neuf au carré je vais écrire trois fois 4 sur 9 le tout au carré plus la même chose pour le terme qui suit ce qui me donne 3 x 4 sur 9 le tout aux pubs plus les termes qui suivent alors alors là ça devient vraiment clair cette partie là ça ressemble vraiment à la somme des termes d'une suite géométrique de raisons aux 4 sur 9 donc là on va s'arrêter pour cette vidéo mais on continuera dans la vidéo suivante parce que c'est un peu long est ce qu'on va faire plus tard tout à l'heure dans la vidéo précédente c'est calculé finalement l'ère de la figure du flocon de coqs donc calculer ce qu'il ya dans cette parenthèse et pour ça on va utiliser ce qu'on sait sur les les sommes de termes d'une suite géométrique mais on va recommencer tout depuis le début et on va pas supposer qu'on conseille ces choses-là sur les suites géométriques voilà donc ça c'est le programme de la vidéo suivante alors à plus tard pour terminer cette démonstration