Longueur d'un arc d'une courbe définie en coordonnées polaires

on va voir si on peut trouver une formule qui nous donnerait la longueur de cette courbe 1 définit encore donné polaire par l'équation est régalé f2 tda donc ce que je veux ici c'est pas assez plu l'air qui qui est à l'intérieur de la courbe c'est la longueur de cette courbe qui varient disons et c'est la galère de varier entre 0 radiant épissures de radian je voudrais une formule générale pour une courbe qui varient entre n'importe quel angle et n'importe quel autre angle lorsque cette courbe est exprimée encore donné polaire alors je sais pas si tu te rappelles comment on a fait encore donné rectangulaire mais on va commencer à peu près de la même manière c'est à dire qu'on va diviser notre courbe en petits segments élémentaire infiniment petit donc là ce que je représente ce n'est pas vraiment infiniment petit 1 c mais je leur présente grand pour que géométriquement puis qu'on puisse comprendre ce qui se passe mais toi imagine toi que que ont fait ça sur des segments très petit et qu'on va faire tendre leur longueur vers zéro donc je prends un segment qui épousent plus ou moins l'allons la forme de la courbe que j'appelle d'iai ds et voilà notre courbe et former d'autres segments de ce genre et quand on fait de tendre ses segments les longueurs de ses segments vers 0 et qu'on en prend de plus en plus ça nous fait bien la longueur de notre courbe et donc la longueur de notre courbe ce serait la somme c'est à dire l'intégrale de tous ces déesses là et maintenant on aimerait bien mettre cette intégrale en fonction de notre variable et notre variable ici cet état puisque est écrit air égale f2 teta et bien alors qu'est ce qu'il faudrait mais quelle fonction faudrait mettre sous l'intégrale et quels sont les bandes qu'il faudrait mettre alors pour ça il faut savoir qu'est ce que ça veut dire des s exprimer d s en termes de dette et a aidé er et 2 teta alors on va commencer comme on avait fait lorsque c'était encore donné rectangulaire parce qu'on a fait encore de direct muller on va dire que ce ds c'est un décalage horizontale que j'appelle des x que je représente ici ce sera pas quelque chose de très rigoureux ma démonstration mais c'est intuitif et ça arrivera à la bonne formule si on le faire très très rigoureusement pourrait prendre des deltas x faudrait bon faudrait écrire beaucoup plus longuement avec toutes les hypothèses et les justifications on va se contenter nous d'arriver à la bonne formule ce sera déjà pas mal voilà donc on disait un décalage horizontale des x et un décalage verticale des y ce décalage horizontale des xd y ait ce ds que j'avais considéré dès le départ nous forment un triangle rectangle dans lequel on peut donc écrire le théorème de pythagore qui nous dit que des aces c'est la racine carrée de dxo carré plus d y au carré voilà et nous comme on veut tout exprimé en fonction de thé tyde et état et bien pourquoi ne exprimée en ayons pas des x et d y en fonction des états c'est exactement ce que nous allons faire pour cela ça on le sait le faire on connaît les formules de passage de coordonnées des coordonnées rectangulaire aux coordonnées polaire et inversement on sait que x l'accord donné rectangulaire l'abscisse xcr caussinus teta ce sont les formules de passage classique et de la même manière y est galère sinus teta c'est même la définition de ce qu'on appelle ans au lycée le cercle l'unité ou le cercle trigonométriques bien alors si je connais x je connais des x c'est là c'est la dérivée de celle a dérivé de la fonction x par rapport à l'état multiplié par des états maintenant il faut que je fasse attention parce que r c'est une fonction de tes talents faudrait pas dériver ça comme si elle était une constante bien pour l'homme pour mieux le voir je vais écrire x égale f2 têtards ce après tout j'ai dit que rcf de thé taïx égale f2 teta caussinus l'état et y égale f2 et à sin stes et ar ça n'est pas une constante c'est une fonction de l'état est ainsi quand je dérive f2 teta caussinus teta je dérive ça comme un produit suivant la formule de la dérivée d'un produit un hub prime vais plus uv prime donc dx cf prime de teta caussinus teta auquel je dois ajouter f2 et a dérivé de cosinus cétacés - sinus teta donc ça me faire - f de tassigny cet état et je dois pas oublier de multiplier par le détail à issy bon tu vois que c'est juste parce que si je divise le tout par des états j'obtiens dx sur des tas dérivés de x par rapport à l'état égale exactement la fonction dérivés qu on a calculé maintenant faire la même chose avec y note des grecs c'est dérivés d'offres du produit fouad et et a donc la dérivée du produit je fais la même chose la formule de la dérivée du produit f prime de teta asinus étage dérive d'abord le premier terme du produit premier facteur ensuite terrible un deuxième facteur ça me fait plus f2 teta caussinus d'état et je multiplie le tout par des états et maintenant que dois-je faire de ceux des x et de ceux d y est dense et écrit un petit peu au dessus doit calculer racines de dxo carré plus d greco carré alors ça à faire long on va développer ça c'est très long a l'air d'être long et technique en fait ça va simplifier à la fin enfin bon on va développer on va développer on va mettre des xo carré on va tout mettre au carré on va développer comme une identité remarquable parce qu'on a là une différence au carré on connaît les identités remarquables donc dxo carré c'est f prime de teta au carré et caussinus carette et à moins le double produit ces deux primes de teta f2 teta caussinus de teta sinus de teta c'est bon j'ai rien oublié ok donc plus le deuxième terme de la différence au carré c'est à dire f2 teta au carré sinus carette état et le ddt et est acquis et ans qui est en dehors de la parenthèse doit aussi être élevée au carré donc j'obtiens des étangs au carré tout au bout donc on fait la même chose avec des y au carré alors allons-y donc on développe tout et on a une identité remarquable de la même manière qu'à la ligne précédente donc cf prime de teta au carré sinus carré de teta jeu comment ce développement par identité en arca blanc suit plus le double produit ces deux f prime de teta f2 teta on fait attention de rennes oublier sinus de cosinus de tête asinus deux états dans lorsque dans l'ordre que tu veux ça n'a aucune importance voilà et plus le second terme de la somme au carré c'est à dire f2 teta au carré caussinus cariste état et je multiplie tout ça par d'état au carré alors que dois-je faire de ceux des xo carré de ceux d y au carré encore une fois c'est écrit un petit peu plus haut je dois les additionner je vais les additionner en colonnes ce qui est pratique de voir ce qui se passe alors quand on les additionne en colonnes on n'obtient que dxo carré plus d y au carré égal et là tu vas voir que plein de choses vont se simplifier alors commençons par additionner les f prime d'état au carré tu vois que je peux factoriser les primes de teta au carré safer prime d'état au carré facteur de cosinus carrés et est à + sinus carette et a alors caussinus karité t'as plus in us cars et et à ça ça doit sauter aux yeux ça fait un sas et l'identité trigonométriques du théorème de pythagore la plus basique qui soit donc cette somme là ne me fait que f prime car et efrim de teta au carré puisque caussinus carette et à +6 muscaris pts et à quel que soit l'état ça fait toujours ça c'est là s'il ya une chose qu'il faut retenir c'est une identité trigonométriques qu'il faut retenir c'est celle là donc déjà la première la première somme se simplifient déjà comme ceci alors la deuxième somme c'est encore plus simple on voit qu'on additionne de termes opposé donc ça s'annule je peux les bars et ça fait 0 et enfin tout à fait à droite lorsque j'additionne les deux termes là qui sont tout à fait à droite je vois que je vais pouvoir factoriser f2 teta au carré et que je vais me retrouver avec le même si lui scarlett est à + caussinus karité t'as kiffé un donc je me tiens juste f2 teta au carré à l'appui ce que 6 cars est plus que sinus carré ça fait 1 et donc voilà on s'est beaucoup plus agréable que ce qu'on avait au ligne d'avants et tout ça il faut le x le dtk au carré donc voilà je mette de grande parenthèse tout autour et je vais multiplier sa part des états au carré donc pour dxo carré plus d y au carré on est passés par des formules qui ont l'air un petit peu longue et compliquée mais voilà on arrive quand même à quelque chose d'assez simple donc qu'est-ce qu'on en fait ceux des xo qui aurait plus d y au carré on regarde si on garde encore une fois au même endroit tout à fait en haut là où on a écrit ds on est censé en prendre la racine carrée donc prenons-en la racine carrée c'est la racine carrée donc racine carrée de dxo carré plus d y au carré c'est la racine carrée de tout ce que j'ai à droite de donc de f prime de teta au carré plus f2 teta au carré et comme tout ceci est x inde et états au carré quand des états au carré je peux le sortir de la racine ça va faire simplement des états et ça me donne que mon ds qui est racines de dx carré plus d y carré c'est aussi la racine de f prime carette et a+ f40 état le tout multiplié par sept états et à ce moment là ben je peux comme j'ai l'expression de ds en termes de teta x des états à ce moment là j'ai exactement quelque chose que je peux intégrer et la longueur de ma courbe ce sera la somme de tous les ds donc la longueur de ma courbe ce sera l'intégrale ce sera l'intégrale de ma fonction en termes de teta fois des états donc ce sera l'intégrale donc quels sont les bornes d'intégration dans les bornes d'intégration sont les angles dans lesquels de nom entre lesquels je varie et comme je veux une formule générale je mets entre alpha et bêta intégral entre alpha et bêta et alpha et bêta ça dépendra de delà de ce qu'on te demande de la longueur de comptes demande de calcul et l'intégrale entre alpha et bêta de racines de f prime deux états au carré plus chef de l'état au carré fouad et et a donc il s'agira à le fc le rayon exprimé en fonction de l'angle donc il s'agira donc de m ff primes en fonction de la courbe que tu auras au bon endroit dans cette formule pour obtenir la longueur de cette courbe dans la vidéo d'après on va essayer d'appliquer cette formule a un exemple précis pour calculer une longueur