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Déterminer les termes d'une suite définie par récurrence

Transcription de la vidéo

alors j'ai cette fonction objet qui est défini ici en fait c'est une fonction qui est défini comme ça pour n égale à 1 et bien j'ai de nouveau 4 et 6 n est un entier supérieur strictement supérieur à 1 eh bien j'ai deux n va être défini de cette manière là par cette expression qui est ici un voilà donc c'est une fonction qui est définie pour tous les nombres entiers supérieur ou égal à 1 alors ce que j'aimerais là c'est que tu mettes la vidéo sur pause et tu essayes de ton côté de calculer les images certaines images par la fonction j'ai en fait tu peux essayer de calculer g21 g22 g23 et g24 voilà alors mais la vidéo sur pause et essaye de calculer sa de ton côté alors maintenant on va le faire ensemble donc j'ai de 1,20 g de 1 c j'ai pour n est égal à 1 donc on est dans ce cas ici hein donc si n est égale 1 ce qu'on nous dit c'est que j'ai de haine sera égal à 4 donc j'ai deux ens et 4g de 1 c 4 bon jusque là c'était pas trop compliqué maintenant on va essayer de calculer g22 alors j'ai deux il faut qu'on prenne n égale à 2 alors 2 c'est un entier et c'est un entier strictement supérieur à 1 donc on va être dans ce cas là si puisque 2 est un entier supérieur strictement à 1 donc on va être dans ce cas là donc on va utiliser cette expression qui est ici alors ça c'est assez intéressant parce que en fait tu vois que j'ai 2 2 dans ce cas là est définie grâce à la fonction j'ai aussi mais pas par g22 lui même mais pas par jets de 2 - 1 ici on doit remplacer n par deux donc ce qui a écrit ici cg22 - os et puis ensuite il faut ajouter ceux 3,2 donc finalement donc finalement là ce qui est intéressant c'est que j'ai 2 2 en fait ça va s'écrire comme ça cg21 plus 3,2 ça c'est vraiment parce que comme n est un entier super strictement supérieur à 1 on est dans ce cas là et là j'ai simplement lui la formule 1 je remplace n par deux ici donc cg22 que je calcule et donc je remplace aussi elle par deux dans cette partie là de la définition donc j'ai 2 2 - 1 ça fait j'ai 2 1 +352 voilà alors bon maintenant comment est ce qu'on fait pour calculer sa g 2 1 je sais que ça fait 4 c'est ce qu'on a calculé juste avant ici donc finalement j'ai de deux c4 +3 2 4 +32 ça fait 7,2 alors pour jets de 3,3 c'est un entier strictement supérieur a alors de nouveau on est dans cette clause là dans cette partie là de la définition de la fonction j'ai hélas on est dans le cas où wayne est égal à 3 donc je vais remplacer n par trois partout ici donc j'ai deux-trois cg de 3 - 1 c'est-à-dire g22 plus 3,2 g 2 2 plus 3,2 alors j'ai 2 2 on la calcule et c'est ce qu'on vient de calculer juste avancé 7,2 donc fils à manger de 3 c 'est dirk de +32 ça ça fait dix points 4 10 4 alors tu vois là peut-être que tu vois que tu commences à voir ce qui se passe on va maintenant calculé g24 alors j'ai de 4,4 c'est un entier strictement supérieur a donc de nouveau on est dans cette partie là de la définition on va remplacer n par quatre ça donne ici g24 qui est égale âgés de 4 - 1 g de 4 - 1 cg de 3 + 3 2 qui est ici j'ai deux trois plus trois de donges est de 4 c g23 +32 donc c'est alors j'ai deux-trois on a dit que c'était on vient de le calculer ses 10,4 donc 10.4 plus 3,2 ça fait 13,6 alors là on a fait ce qu'on voulait faire un calcul et les images des quatre premiers nombres entiers mais tu vois qu'il ya quelque chose d'assez intéressant dans la manière dont est défini cette fonction là parce que c'est une fonction qui est définie pour tous les nombres entiers 1 est en fait comme elle est définie pour tous les nombres entiers on peut aussi la considérer comme une suite de nombres je peux très bien dire que j'ai une suite de nombres qui est celle ci le premier terme c4 le deuxième terme c'est 7,2 je vais mettre des preuves virgule plutôt le troisième terme c'est 10 points 4 le quatrième terme c'est 13,6 et puis je continue comme ça voilà on va voir un petit peu comment est-ce qu'on peut définir la manière dont ça continue ici mais bon voilà tu veux tu vois que cette fonction-là lé définition les nombres entiers et en fait si je considère l'image de chaque nombre entier dans l'ordre comme ça ça me donne une suite de nombres donc ce que j'ai défini de cette manière là en définissant une fonction définie sur tous les nombres entiers en fait c'est la même chose que définir une suite numérique une suite de nombres voilà alors qu'est ce qui se passe avec ces nombres ici on part du premier terme donc c'est celui qui est donné ici ainsi n est égal à 1 donc ça c'est le premier terme c4 c'est ce qui est donné dans cette partie là de la définition ci n est égal à un g2 nc 4 donc le premier terme c4 et ensuite comment est ce qu'on fait pour passer aux termes suivants étaient bien en fait on a à chaque fois ajouté 3,2 ici pour passer de 4 à 7,2 j'ajoute 3 2 pour passer de 7,2 à 10.4 j'ajoute 3,2 pour passer de 10,4 à 13,6 j'ajoute 3 032 plus 3,2 voilà et ainsi de suite comme ça en fait on peut calculer chaque terme en prenant celui qui est juste avant donc le terme vraiment juste précédent et en lui ajoutant 3,2 donc finalement cette suite de nong et là on aurait très bien pu la définir comme ça en dix ans ben c'est une suite de nombres qui part du nombre quatre et dans laquelle chaque terme est obtenu à partir du précédent en ajoutant 3 2 voilà donc c'est une autre façon de définir cette suite là et en fait ce type de définition porte un nom ça s'appelle une définition par récurrence définition par récurrence récurrence dans fait bon ce sont des fonctions qui sont fini surtout les nombres entiers où on a deux parties alors bon ce sont des fonctions qui sont définies sur tous les nombres entiers à ça c'est important enfin sur les nombres entiers en général et elles sont en deux parties dans le sens que d'abord on nous donne une sorte de point de départ un ici effectivement on nous dit que si elle est égale à 1 alors j'ai 2 1 c'est égal à 4 ans nous définit de l'image du nombre n égale à 1 et en fait ça correspond à donner ici le premier terme dans notre cas ici ça donne le premier terme de la suite et puis ensuite les images des deux des autres entier sont définis en faisant intervenir la fonction elle même alors ici on a l'image du point n du nombre n qui est défini à partir de l'image du nombre n - 1 donc du nombre précédent donc ça veut dire que pour calculer l'image d'un nombre il faudra d'abord calculé l'image du nombre précédent et pour calculer l'image du nombreux précédents il faudra calculer l'image du nombre encore précédent et ainsi de suite jusqu'à revenir à ce point de départ qui est donnée ici voilà alors ce type de définition c'est ce qu'on appelle des définitions par récurrence et c'est très utilisé on le verra dans d'autres vidéos et en tout cas ce qu'on a vu ici c'est que ce type de death de fonctions définies par récurrent c'est bien ça peut être utilisé pour définir des suites numérique tout à fait comme on vient de le faire ici et tu vois que tout à l'heure on a on est partis du point de départ qui était ici le premier terme pour n égale à 1 donc g21 c4 ensuite on a pu calculer g22 puisqu'on connaissait g21 et puis on a calculé g23 parce qu'on connaissait g2 et g2 4 parce qu'on connaît le cg de 3 mais on aurait très bien pu faire ça à l'envers c'est à dire par exemple par calcul et j'ai 2,6 alors j'ai 2 6 on est dans ce cas là j'ai de 6 on sait que c'est g25 plus j'ai plus 3,2 pardon j'ai de 6 c g25 plus 3,2 là j'ai juste je me suis placé dans ce cas-là de la définition gérant pacéenne parsys donc gg de cissé gallager de 6 - 1 6 mois ça fait 5 voilà et puis alors pour pouvoir calculer g de 6 il faut du coup que j'arrive à calculer g25 alors g25 c'est g24 plus 3,2 voilà et là c'est toujours la même chose pour calculer g25 il faut arriver à calculer g24 donc g24 on peut l'exprimer en fonction de g 2 3 donc il va falloir calculé j'ai deux trois et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive en fait à ce g2 1 on remonte petit à petit pour arriver à la valeur g21 qui est égal à 4 puisque ça ça nous est donné alors ici on va pas le faire puisque g24 on l'a déjà calculé un g 2 4 ses 10 c'est 13 26 13 6 donc j'ai de 5 c'est 13 6 + 3 2 ce qui fait 16,8 16,8 et du coup on peut en déduire g de 6 puisque g25 l'amener on sait que ces 16 8 donc j'ai 2 6 et 16 8 + 3 2 ce qui fait 20 voilà donc tu vois on peut partir du point de départ est calculée tous les termes successives de la suite mais on peut aussi faire l'inversé te dire essayé de calculer par exemple le septième ou huitième terme et pour ça on va devoir remonter petit à petit jusqu'au terme jusqu'au premier terme de la suite qui est donnée ici qui est le point de départ de la suite voilà on va faire quelques exemples supplémentaire pour bien s'entraîner pour bien comprendre donc voilà là j'ai une autre fonction qui est définie par récurrence aussi les définit pour tous les antilles est supérieur ou égal à 1 et là on va plutôt l'interpréter comme étant une manière de donner une suite numérique alors mais la vidéo sur pause et essayent comme tout à l'heure de calculer les quatre premiers termes par exemple de cette suite en utilisant la définition qui est donnée ici alors maintenant on va le faire ensemble alors pour calculer le premier terme en fait il suffit de lire la définition 1 h 2 1 on nous dit que si n est égal à 1 et bien h21 ses 14 dont cash de 1 sec 14 ça c'est le premier terme de la suite ensuite pour calculer h-22 h de 2,2 est un entier strictement supérieur à 1 donc je suis dans ce cas-là de la définition donc je vais pouvoir dire que h22 ses 28 / h 2 2 - en fait je prends cette partie là je remplace n par deux donc h22 ses 28 / h 2 2 - 1 2 2 - 1 c'est-à-dire de 1h 2 1 ces quatorze donc finalement h22 ses 28 / 14 ça fait deux voilà ensuite h-23 h de 3,23 est un entier strictement supérieur à 1 donc je suis maintenant toujours pas de toute façon on est dans toujours dans ce cas ci au port n égale à 1 bien sûr donc lahej de tout âge de 3 c 28 / l'image du terme précédent donc h22 28 / h 2 2 alors ça ça fait h22 ces deux donc c'est 28 divisé par deux et ça ça fait quatorze la moitié de 28 c 14 alors peut-être que tu vois que quelque chose d'étrange se passe ici on va continuer avec h/24 h 2,4 alors h24 c'est toujours un entier strictement supérieur 1 donc on est toujours dans ce cas là donc c'est 28 / h23 terme précédent et donc h23 ses 14 on va calculer avant donc on est on a ici 28 / 14 ce qui fait d'eux alors maintenant je vais écrire ces termes ce que je viens de faire sous la forme d'une suite numérique en fait si j'écris les termes de la suite donc j'ai d'abord 14 ensuite j'ai 2 ensuite j'ai 14 ans corps puis deux puis alors voilà en fait ce qui va se passer ici donc j'ai une infinité terme et en fait ce qui va se passer ici c'est que on peut définir cette suite la de cette manière là en disant que c'est une alternance de 14 et de 2 en sachant que les termes de rang 1 perd son ego à 14 et les termes de remp r sont égaux à 2 autrement dit le premier terme le troisième terme le cinquième terme 7e terme seront tous égaux à 14 et le deuxième terme quatrième terme le sixième terme seront égaux à 2,1 des termes de rang 1 perd son ego à 14 et les termes de rang perd son ego de voilà ce une manière de décrire cette suite numérique est ici on peut le faire aussi différemment de manière peut être un peu plus précise peu plus facile à décrire c'est de se dire qu'on part du premier terme 14 et que chaque terme est défini par comme étant 28 / le terme précédent donc ici ce terme-là ses 28 / 14 donc ça fait deux le terme qui est ici c'est 28 / 2 donc ça fait 14 28 divisée par 14 sa fait 2 et on peut continuer comme ça pour définir tous les termes de la suite voilà en fait ça c'est exactement ce qui est donné ici un dans cette formule dans cette définition par récurrence qui est là et ça correspond aux calculs convient de faire là alors on va faire un dernier exemple donc voilà je prends cette fonction là alors ça c'est une définition qui est un petit peu différente de tout à l'heure ça va être assez intéressant donc c'est quand même une fonction qui est définie pour des tous les entiers strictement supérieur à 1 mais là en fait tu vois il ya deux cas qui nous sont données bon on va on va essayer d'explorer un petit peu ça par exemple en essayant de calcul et quelques images disons qu'on va essayer de calculer f24 f24 alors f24 comment est ce qu'on fait pour calculer saab 4 c'est un entier strictement supérieure à 2 donc on tombe dans ce cas ci delà de la définition 1 donc ça va être alors je vais remplacer n par quatre partout donc f24 c'est f24 - 24.2 ça fait 2 + f24 - 1 c'est-à-dire f2 3 + f 2 3 donc là on lit que le terme le quatrième terme c'est la somme des deux termes précédent alors là il faut que pour arriver à trouver la valeur de 2,4 il faut qu'on arrive à calculer f-22 et f2 3 donc f 2 3 je vais continuer c'est aussi une fonction définie par récurrence là je suis encore dans 7 cas dans ce cas là puisque 3 est un entier strictement supérieure à 2 donc cf 2 3 - 2 c'est-à-dire f 2 1 + f 2 3 - 1 c'est-à-dire f-22 voile af23 cf 2 1 + f-22 en fait comme tout à l'heure c'est la somme des deux termes précédent alors on continue parce qu'il nous faut calculer f21 et f-22 f-22 f-22 qu'est ce que c'est alors là en fait on est dans ce cas ici de la définition puisque de cn égale à deux donc on est bien ici est donc f-22 scène ça nous donne ça nous est donnée ici c'est moins 4 et f 2 1 de la même manière il faut qu'on arrive à calculer f 2 1 f 2 1 on tombe dans cette dans ce cas-ci de la définition et on nous donne effectivement f21 c'est moins 6 et u voilà c'est ce qui est important c'est que ici on a deux cas de départ de quatre départs et heureusement on a besoin de ces deux cas là parce que sinon on ne s'arrêterait jamais pour exprimm pour calculer f24 il faudrait calculer f-22 m23 pour calculer f2f de 3 il faudra calculer f-22 et f 2 1 ben voilà il faut bien qu'on ait un certain moment des quatre départs ici on en a deux c'est ça qui est différent avec tout à l'heure en tout cas avec ces deux cas là on peut maintenant calculé f2 3 puisque af23 cf 2 1 + f-22 donc cf2 1c -6 plus f-22 qui est moins 4 - 6 plus -4 ça fait moins 10 voilà et puis à partir de là je peux aussi calculé f24 f24 cf 2 2 + f 2 3 f-22 c'est moins 4 et eve 2 3 c'est moins 10 donc f24 c'est moins 10 - 4 ça fait moins 14 voilà là j'ai calculé les quatre premiers termes de cette suite d'ailleurs je vais écrire cette suite comme une suite numérique donc le premier terme c'est le terme pour n égale à 1 cf 2 1 c'est moins 6 ensuite le deuxième terme cf de 2 c - 4 le troisième terme cf 2 3 c'est moins 10 ensuite le terme successifs c'est le terme de rang 4 ans à dire celle f24 c'est moins 14 et puis ainsi de suite je peux continuer à calculer les termes successifs de cette suite là en utilisant toujours cette définition par récurrence cette définition récursive on dit aussi de la fonction f1 c'est à dire ici en fait à chaque fois un terme est défini comme étant la somme des deux termes précédent donc le prochain qui sera ici le cinquième terme ce sera moins 10 - 14 ça c'est à dire moins 24 de cette manière là tu peux calculer n'importe quel terme petit à petit n'importe quel terme de la suite voilà donc l'intérêt de cette vidéo c'est est de familiariser un petit peu avec les définitions par récurrence et aussi de voir comment est ce que à partir d'une fonction définie par récurrence comme celle qu'on a vue on peut définir une suite numérique