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Séries géométriques et nombres dont le développement décimal illimité est périodique

Transcription de la vidéo

admettons clooney un nombre les décimales se répète je m'explique par exemple je peux décider que 4008 va se répéter dans un nombre c'est à dire ça ce serait 0,4 milles 8 4 1008 4008 et c'est donc ce nombre après la virgule serait constitué de la succession de 4008 une infinité de foi et donc évidemment du coup je peux pas l'écrire puisque c'est une infinité de fois et on va voir grâce aux eaux série géométriques on peut réécrire réécrire ce nombre alors déjà pour commencer comment est-ce qu'on peut réécrire ce nombre on peut remarquer que ces égale à 0,4 milles 8 + 0,0000 4008 plus 0,8 048 et 4008 plus etc qu'est-ce que j'ai fait là en fait ce zéro point 4008 c'est cette partie là ensuite le 0 0 0 0 au 4008 cse 4008 là est le suivant là avec 8,0 d'abord et ben ça représente ce 4008 là et etc je pourrais continuer de les écrire comme ça alors quel intérêt là pourquoi j'ai fait ça mais parce que pour passer d'un terme à l'autre en fait eh bien ils sont liés il suffit que je multiplie par 0.0001 et idem ici pour passer de ce terme à celui ci il faut x 0 0001 donc en fait j'ai face à moi une série géométriques et bien oui puisque j'ai un terme ici et pour passer aux termes suivants je multiplie par la raison qui vaut ici 0,0001 alors si je leur ai écrit en mettant la raison en évidence ça fait zéro point 4008 x la raison dix puissance moins quatre puissantes 0 ça c'est pour le premier terme deuxième terme 0.4 1810 puissance moins quatre puissances un bon ça c'est ce terme là 0.4 1008 fois dix puissance moins quatre puissances de ça c'est ce terme là et etc mais alors du coup qu'est-ce qu'on peut faire maintenant qu'on sait que cette ce nombre là avec les décimales qui serait bête c'est la même chose qu'une série géométriques parce que je peux faire c'est calculé la valeur de la série géométriques calculé vers quoi et convergent quand je vais tendre cas ici il n donc 0 1 2 vers l'infini que je rajoute tous les termes qui manquent pour aller vers le nombre complet et bien déjà la première chose à me demander c est ce qu elle va converger cette série donc là je te rappelle qu'il faut regarder la raison et regardez c'est les plus petites que donc la 10 puissance moins 4 est très clairement plus petit que 1 donc pas de problème la série va converger alors maintenant qu'est ce que vaut cette valeur vers laquelle convergent et bien je te rappelle que pour une série de type somme pourquoi égal zéro jusqu'à l'infini de à foix air puissance qu'à ça converge vers a / 1 - r je vais plutôt l'écrire ici ça converge vers a / 1 - 1 ère donc à c'est la première valeur de la série et r la raison donc en fait ça c'est égal à a c'est à dire 0,4 milles 8 / 1 - la raison les 000 01 donc je peux le laisser comme ça ou alors je peux essayer de l'écrire sous forme de fractions cette soustraction donc ça donne 0,4 milles 8 / alors ben salah c'est comme un 10 millièmes et 1 c'est comme un lacet comme 10000 divisé par dix mille et lui c'est comme un divisé par dix mille donc du coup 1 - 0,0001 donne 9999 divisé par dix mille alors au final ça fait quoi ça fait 0 1 4008 multiplié par dix mille / 9999 donc voilà j'ai réécrit j'ai réussi à réécrire ce nombre qui avait quatre minutes qui se répétaient là à l'infini par cette expression là qui elle est finie je peux la taper sur une calculette et pour arriver à faire ça j'ai réussi à transformer ça en série a trouvé la raison le terme de départ et donc a finalement trouvé vers quoi converger cette série