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5e année secondaire - 2h

Chapitre 1 : Leçon 2

Suites arithmétiques

Suites arithmétiques - les définitions

Pour faire le point.

Suite arithmétique, formule explicite et formule de récurrence

Une suite est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette différence constante s'appelle la raison de la suite.
Par exemple, la raison de cette suite arithmétique est 2 :
start color #ed5fa6, plus, 2, \curvearrowright, end color #ed5fa6start color #ed5fa6, plus, 2, \curvearrowright, end color #ed5fa6start color #ed5fa6, plus, 2, \curvearrowright, end color #ed5fa6
3, comma5, comma7, comma9, comma, point, point, point
Aussi bien une formule explicite que la formule par récurrence permettent de calculer a, start subscript, n, end subscript pour toute valeur de n.
Une formule explicite de la suite arithmétique de premier terme start color #11accd, a, start subscript, 1, end subscript, equals, k, end color #11accd et de raison start color #ed5fa6, r, end color #ed5fa6 est :
Pour tout n, ≥, 1, a, start subscript, n, end subscript, equals, start color #11accd, k, end color #11accd, plus, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, start color #ed5fa6, r, end color #ed5fa6
Sa formule de récurrence est :
{a1=kan+1=an+r\begin{cases}a_1 = \blueD k \\\\ a_{n+1} = a_{n}+\maroonC r \end{cases}

Calculer les termes d'une suite arithmétique de proche en proche

Si les trois premiers termes d'une suite arithmétique sont 3, comma, 8 et 13, quel est le 4, start superscript, e, end superscript terme de la suite ? On voit que la raison est start color #ed5fa6, plus, 5, end color #ed5fa6 :
start color #ed5fa6, plus, 5, \curvearrowright, end color #ed5fa6start color #ed5fa6, plus, 5, \curvearrowright, end color #ed5fa6start color #ed5fa6, plus, 5, \curvearrowright, end color #ed5fa6
3, comma8, comma13, comma, point, point, point
Donc le 4, start superscript, e, end superscript terme est 18 :
start color #ed5fa6, plus, 5, \curvearrowright, end color #ed5fa6start color #ed5fa6, plus, 5, \curvearrowright, end color #ed5fa6start color #ed5fa6, plus, 5, \curvearrowright, end color #ed5fa6
3, comma8, comma13, comma18, comma, point, point, point
Exercice 1
Quel est le 5, start superscript, e, end superscript terme de la suite arithmétique minus, 5, comma, minus, 1, comma, 3, comma, 7, comma, dots ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Etablir la formule de récurrence qui définit la suite

Quelle est la formule par récurrence de la suite arithmétique de premier terme a, start subscript, 1, end subscript, dont les trois premiers termes sont 3, comma, 8 et 13, space, question mark On sait que la raison de la suite est start color #ed5fa6, plus, 5, end color #ed5fa6. Son premier terme est a, start subscript, 1, end subscript, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd. Donc sa formule par récurrence est :
{a1=3an+1=an+5\begin{cases}a_1 = \blueD 3 \\\\ a_{n+1} = a_{n}\maroonC{+5} \end{cases}
Exercice 1
Quelles sont les valeurs de k et r dans cette formule de récurrence qui définit la suite minus, 5, comma, minus, 1, comma, 3, comma, 7, comma, dots, question mark
{a1=kan+1=an+r\begin{cases}a_1 = k \\\\ a_{n+1} = a_{n}+r \end{cases}
k, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
r, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Etablir une formule explicite

Quelle est une formule explicite de la suite arithmétique left parenthesis, a, right parenthesis dont les trois premiers termes sont 3, comma, 8 et 13, si le premier terme de la suite est a, start subscript, 1, end subscript ? On sait que la raison de la suite est start color #ed5fa6, 5, end color #ed5fa6 et que son premier terme est start color #11accd, a, start subscript, 1, end subscript, equals, 3, end color #11accd. Donc une formule explicite est :
Pour tout n, ≥, 1, a, start subscript, n, end subscript, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd, start color #ed5fa6, plus, 5, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
Exercice 1
Écrire une formule explicite de la suite arithmétique left parenthesis, a, right parenthesis, de premier terme a, start subscript, 1, end subscript, dont les 4 premiers termes sont minus, 5, comma, minus, 1, comma, 3 et 7.
Pour tout n, ≥, 1, a, start subscript, n, end subscript, equals

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.