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5e année secondaire - 2h

Chapitre 1 : Leçon 2

Suites arithmétiques

Définir une suite arithmétique par une formule

Définir une suite arithmétique par une formule explicite ou par une formule de récurrence.
Prérequis : savoir ce qu'est une suite arithmétique et savoir déterminer l'image d'un nombre par une fonction .

Pourquoi une formule ?

Dans la leçon précédente les suites traitées étaient données sous la forme :
3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
Dans cette leçon nous allons voir comment définir une suite par une formule de récurrence ou par une formule explicite. Dans les deux cas l'intérêt est de disposer d'une formule qui permet de calculer un terme quelconque de la suite.
Si n est un entier naturel supérieur ou égal à 1, on note a, start subscript, n, end subscript le terme de la suite de rang, (ou d'indice) n, c'est-à-dire le n, start superscript, start text, e, end text, end superscript terme de la suite. Par exemple, pour la suite arithmétique 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point :
na, start subscript, n, end subscript
Rangn, start superscript, start text, e, end text, end superscript terme
13
25
37
On va voir qu'une formule permet de calculer le terme a, start subscript, n, end subscript quelle que soit la valeur de n.

À vous !

1) Les 3 premiers termes d'une suite arithmétique, de premier terme a, start subscript, 1, end subscript, sont 3, comma, 5 et 7 Quelle est la valeur de a, start subscript, 4, end subscript, question mark
a, start subscript, 4, end subscript, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

2) Quel que soit le naturel n, ≥, 2, que représente a, start subscript, n, minus, 1, end subscript, question mark
Choisissez une seule réponse :
Choisissez une seule réponse :

Suite arithmétique définie par une formule de récurrence

La formule de récurrence donne deux informations :
  1. Le premier terme de la suite
  2. La règle qui permet d'obtenir un terme de la suite à partir du terme précédent
La formule de récurrence qui définit la suite 3, 5, 7,... est :
{a1=3le premier terme est 3an=an1+2on ajoute 2 au terme preˊceˊdent\begin{cases}a_1 = 3&\leftarrow\gray{\text{le premier terme est 3}}\\\\ a_n = a_{n-1}+2&\leftarrow\gray{\text{on ajoute 2 au terme précédent}} \end{cases}
Pour obtenir a, start subscript, 5, end subscript, on doit calculer tous les termes précédents :
a, start subscript, n, plus, 1, end subscriptequals, a, start subscript, n, end subscript, plus, 2, space, space si n, ≥, 1
a, start subscript, 1, end subscriptequals, start color #11accd, 3, end color #11accd
a, start subscript, 2, end subscriptequals, a, start subscript, 1, end subscript, plus, 2equals, start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, 2equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff
a, start subscript, 3, end subscriptequals, a, start subscript, 2, end subscript, plus, 2equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff, plus, 2equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54
a, start subscript, 4, end subscriptequals, a, start subscript, 3, end subscript, plus, 2equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54, plus, 2equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10
a, start subscript, 5, end subscriptequals, a, start subscript, 4, end subscript, plus, 2equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10, plus, 2equals, 11
On obtient bien la suite 3, 5, 7, ...

À vous !

Voici trois exercices pour vous entraîner.
On a noté a, start subscript, n, end subscript le terme de rang n de la suite arithmétique 3,5,7,... On peut utiliser d'autres lettres pour désigner les termes d'une suite, par exemple, b, start subscript, n, end subscript, c, start subscript, n, end subscript, ou d, start subscript, n, end subscript.
3) Quelle est la valeur de b, start subscript, 4, end subscript si la définition de la suite left parenthesis, b, start subscript, n, end subscript, right parenthesis est : {b1=5bn+1=bn+9\begin{cases}b_1=-5\\\\ b_{n+1}=b_{n}+9 \end{cases}
b, start subscript, 4, end subscript, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

4) Quelle est la valeur de c, start subscript, 3, end subscript si la définition de la suite left parenthesis, c, start subscript, n, end subscript, right parenthesis est : {c1=20cn+1=cn17\begin{cases}c_1=20\\\\ c_{n+1}=c_{n}-17 \end{cases}
c, start subscript, 3, end subscript, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

5) Quelle est la valeur de d, start subscript, 5, end subscript si la définition de la suite left parenthesis, d, start subscript, n, end subscript, right parenthesis est : {d1=2dn+1=dn+0,4\begin{cases}d_1=2\\\\ d_{n+1}=d_{n}+0{,}4 \end{cases}
d, start subscript, 5, end subscript, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Suite arithmétique définie par une formule explicite

Une formule explicite qui définit la suite de premier terme a, start subscript, 1, end subscript et dont les 3 premiers termes sont 3, comma, 5 et 7 est :
a, start subscript, n, end subscript, equals, 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
Pour trouver un terme de rang donné i, il suffit de remplacer n par i dans la formule.
Par exemple, pour calculer le cinquième terme, on remplace n par 5 :
a(5)=3+2×(51)=3+2×4=3+8=11\begin{aligned}a(\greenE 5)&=3+2×(\greenE 5-1)\\\\ &=3+2\times4\\\\ &=3+8\\\\ &=11\end{aligned}
On obtient bien la bonne valeur !

À vous !

6) Calculer b, start subscript, 10, end subscript si le premier terme de la suite left parenthesis, b, start subscript, n, end subscript, right parenthesis est b, start subscript, 1, end subscript et si pour tout n, ≥, 1, b, start subscript, n, end subscript, equals, minus, 5, plus, 9, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
b, start subscript, 10, end subscript, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

7) Calculer c, start subscript, 8, end subscript si le premier terme de la suite left parenthesis, c, start subscript, n, end subscript, right parenthesis est c, start subscript, 1, end subscript et si pour tout n, ≥, 1, c, start subscript, n, end subscript, equals, 20, minus, 17, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
c, start subscript, 8, end subscript, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

8) Calculer d, start subscript, 21, end subscript si le premier terme de la suite left parenthesis, d, start subscript, n, end subscript, right parenthesis est d, start subscript, 1, end subscript et si pour tout n, ≥, 1, d, start subscript, n, end subscript, equals, 2, plus, 0, comma, 4, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
d, start subscript, 21, end subscript, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Les suites sont des fonctions

Une suite est une fonction qui au nombre naturel n fait correspondre un nombre noté a, start subscript, n, end subscript.
n est toujours un entier naturel. n représente le numéro d'ordre d'un terme de la suite, donc il ne peut être ni un nombre négatif, ni un décimal.
Autrement dit, l'ensemble de définition d'une suite est l'ensemble des entiers naturels.

Une remarque à propos de la notation

Pour désigner le 4, start superscript, start text, e, end text, end superscript terme de la suite, on a utilisé la notation a, start subscript, 4, end subscript, Pour désigner ce terme, vous rencontrerez aussi la notation a, left parenthesis, 4, right parenthesis.
Les deux notations sont possibles. Certains préfèrent la notation a, left parenthesis, n, right parenthesis à la notation a, start subscript, n, end subscript car elle met bien en évidence qu'une suite est une fonction.

Une question

9) Quelle est la formule qui permet de trouver le plus rapidement le 100, start superscript, start text, e, end text, end superscript terme d'une suite arithmétique ?
Choisissez une seule réponse :
Choisissez une seule réponse :

Un dernier exercice

10) left parenthesis, u, start subscript, n, end subscript, right parenthesis est une suite arithmétique de premier terme u, start subscript, 1, end subscript. Quel que soit n, ≥, 1, u, start subscript, n, end subscript, equals, 3, minus, 4, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Quel est le rang du terme de la suite égal à minus, 65, question mark
Rang de ce terme :
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
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