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Une autre façon de calculer la somme des entiers de 1 à n

Suites arithmétiques

Transcription de la vidéo

bonjour dans cette vidéo je voudrais revenir un petit peu sur la formule qu'on avait donné pour calculer la somme des haines premier entier alors je te rappelle de quoi on était partis on était parti de nombre s de haine qui est la somme de tous les entiers somme de tous les entiers de 1 jusqu'à aisne somme de tous les entiers de 1 à n donc s 2 nc 1 + 2 + 3 + ainsi de suite jusqu'à plus saine et dans une autre vidéo on avait démontré que s de haine donc cette somme est bien on pouvait l'exprimer de cette manière là beaucoup plus simple qui était n x n + 1 sur 2 voilà et on avait démontré cette formule là en raisonnant par récurrence alors je te rappelle rapidement ce que ça veut dire que rennes raisonner par récurrence et une première étape qui consiste à trouver une valeur de haine pour laquelle cette formule est vrai c'est à dire prouver le cas initiale ouverte à initial dans notre cas on avait prouvé que s-21 pouvait effectivement s'exprimer de cette manière là et ensuite la deuxième étape c'est de la formulation d'une hypothèse de réussite de récurrence qui consiste à dire que si c'est vrai pour un entier qu'à n'importe lequel alors c'est vrai aussi pour le suivant alors c'est vrai pour l'entier qui vient juste après donc pour 4 + 1 alors si tu te rappelles pas de ça c'est très intéressant d'aller revoir cette vidéo sur la démonstration par récurrence et ici dans cette vidéo je vais te montrer une autre manière de calculer de démontrer cette formule là beaucoup plus direct et qui est assez simple tu vas voir alors je vais repartir de la définition définition de s de haine donc s ii n n est un entier positif et bien c'est ce qu'on a dit tout à l'heure c'est un + 2 + 3 + ainsi de suite jusqu'à + haine et je vais même faire mieux en fait je vais faire apparaître le terme qu'est avants henn donc le mettre d'abord plus n - un plus n je vais apparaître ce terme là pour qu'on ait un peu plus de détails sur la somme de tous les entiers de haine et maintenant ce que je vais faire c'est réécrire ce nombre là exactement cette même somme mais je vais l'écrire dans l'ordre inverse c'est à dire en partant du plus grand jusqu'au plus petit jeu tout à fait le droit de faire ça un ace de haine l'addition se peut se faire dans tous les sens donc je peux l'écrire comme ça cn je prends le dernier le plus grand plus celui qui est juste avant donc plus n - un sas et le deuxième de l'avant dernier qui devient du coup le deuxième plus le terme qui vient juste avant c'est donc ici ce sera n -2 plus et là je vais arriver alors ici c'était l'avant dernier terme en fait du coup maintenant c'est mon deuxième terme donc ici j'ai plus de et puis +1 voilà j'ai vraiment récrie exactement la même chose une fois dans l'ordre croissant et une autre fois dans l'ordre décroissant et c'est exactement le même et maintenant ce que je vais faire c'est additionner ses de ces deux expressions colonnes par colonne donc je vais faire un grand trait comme ça et je vais faire cette addition donc je vais avoir ici s n plus est saine ça me donne deux fois sn2 fois s ii n est ici je vais additionner en colonne donc je vais faire déjà cette addition un plus n1 plus end cn +1 mettre entre parenthèses ensuite je vais ajouter ces deux termes la 2 et n - 1 donc je vais avoir n - plus de en fait ça me donne n + 1 donc ici je dois ajouter plus enplus 1 et tu vois que on retrouve le même terme qu'avant alors maintenant je vais additionner ces deux termes l'a3 plus ou moins 2,3 plus elle moins deux ça fait encore une fois l + 1 donc j'ajoute plus enplus et si tu te penches un peu sur la question ce que tu peux voir c'est qu'en fait à chaque fois quand j'additionne comme ça en colonnes ce que j'obtiens cl +1 ici j'aurais 4 et n - 3m - 3 + 4 ça fait encore une fois n + 1 donc ici j'aurais encore une fois n + 1 jusqu'à cet avant-dernier là qu'on peut aussi expliciter alors l'avant dernier c'est donc n - 1 + 2 n - 1 + 2 ça fait effectivement n + 1 et puis enfin je vais ajouter ces deux termes la haine + 1 donc je vais encore une fois ajouté le terme n plus donc finalement quand on double cette somme là deux fois et saine et bien on obtient le terme elle plus à répéter un certain nombre de fois alors combien de fois et bien y'a 1 termine une fois ici deuxième fois ici une troisième fois ici une quatrième fois une cinquième fois et ainsi de suite jusqu'à ici ça serait la haine - 1e fois et ici la énième fois donc en tout gm terme dans cette somme là donc une fois le terme n + 1 donc tu vois où je veux en venir finalement ce que j'obtiens c'est que deux fois la somme s de haine et bien c'est une fois le terme n + 1 et maintenant pour obtenir la formule qu'on cherche à démontrer eh bien on va tout simplement divisé par deux les deux membres et on obtient que sn est n est égal à n x n + 1 sur 2 voilà donc c'est le résultat qu'on cherchait à démontrer là tu vois que on n'a pas démontré par récurrence on l'a démontré par un calcul très rapide et très direct donc c'est plus rapide dans ce cas là de passer par ce calcul là que de faire un raisonnement par récurrence et souvent ça sera comme ça tu pourra décider si utiliser le sait le raisonnement par récurrence ou trouver une autre manière plus directe de démontrer ce que tu dois démontrer