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Établir une formule explicite qui définit une suite arithmétique

Suites arithmétiques

Transcription de la vidéo

alors j'ai ici un tableau de valeur qui va définir un certain certaines images par une fonction f qui est donnée qui est ici et ce tableau de valeur nous dit que pour n égale à 1 f21 ses 12 pour n égale à 2 la fonction vos 5 pour un égal à 3 la fonction vaut moins de et pour un égal à 4 la fonction vaut moins neuf voilà alors en fait tu vois c'est une fonction qui est définie pour des valeurs entière de la variable donc en fait ça définit une suit on peut très bien voir ça comme la définition d'une suite numérique en tout cas des premiers termes d'une suite numérique et cette suite numérique mais on peut l'écrire un côté comme ça le premier terme ces 12 c'est celui ci c'est l'image du de n égale 1 donc le premier terme ces 12 le deuxième c'est 5 pour n égale 2 le troisième pour une égale trois c'est moins deux je me des points virgules plus tôt et puis le quatrième terme c'est moins neuf voix là et ensuite bon il ya probablement d'autres termes qu'on pourrait définir on va voir ça tout à l'heure parce qu'en fait ici on peut peut-être remarqué quelque chose une sorte de règle pour passer d'un terme à l'autre en fait si tu regarde d'un peu plus près ce qui s'est passé là quand on a quand on est quand on passe de 12 à 5 quand on passe de 12 à 5 en fait on soustrait sept ans on ajoute moins 7 quand tu fais 12 - 7 ça fait 5 et puis quand tu passes de ce terme si donc du deuxième terme au troisième terme et bien en fait on a là aussi on a soustrait sets - 7-5 - 7 ça fait moins deux et puis pour obtenir le quatrième terme c'est pareil on est partis du troisième terme et on a enlevé sept - de - 7 ça fait moins 9 donc tu vois que là il ya quelque chose qui se dégage en fait la différence entre deux termes consécutifs c'est toujours moins 7 si tu fais le deuxième terme - le premier terme ça fait moins 7 le troisième terme - le deuxième terme ça fait moins 7 et le quatrième terme - le troisième terme ça fait moins sept donc tu peux aussi imaginer que ça ça vaut pour les termes successifs c'est à dire que le cinquième terme - le quatrième terme ça va donner moins cette différence entre deux termes consécutive c'est toujours égale à -7 ici alors en se servant de ce qu'on vient de dire ici on va essayer de trouver de déterminer une formule explicite c'est à dire une formule algébrique qui va permettre de calculer f de haine une fois qu'on aura choisi une valeur donnée de haine donc c'est ça qu'on va essayer de faire on va essayer de d'exprimer f2 n par une expression algébrique qui va permettre de calculer f2 aide directement dès qu'on rentre une valeur de haine alors pour faire ça c'est pas mal de commencer par le premier terme le premier terme c'est pour n égale à 1 ici on sait que ces douze puisqu'on sait qu'à chaque fois on va soustraire cette c'est pas une mauvaise chose de partir du début donc du premier terme donc au départ en a 12 et puis on va enlever cette un certain nombre de fois donc je vais écrire ça comme ça - cette fois quelque chose je veux mettre ce quelque chose ici entre parenthèses on va essayer de déterminer ce que c'est alors tu vois ici que quand tu es au premier terme donc pour n égale à 1 en fait 12 - en fait on a ici douze monts pourrez le voir comme 12 - cette fois zéro donc on enlève 0 x 7 puisqu'on est et du coup on est en reste premier terme quand on est haut quand on passe au deuxième terme donc on arrive à n égale 2 est bien ce qui s'est passé c'est qu'on a enlevé ici on enlève une fois cette donc pour l égal de on enlève une fois 7 alors si je regarde ce qui se passe pour n égale 3 en fait on enlève une fois cette encore une fois à partir d'ici mais du coup en tout à partir du point de départ on a enlevé une fois et deux fois 7 donc pour n égale trois on enlève deux fois 7 et puis si tu continues tu vas voir peut-être que les choses se dessinent un petit peu là tu commences un petit peu à voir ce qui se passe quand on arrive quand on est à pour n égale 4 eh bien on a enlevé encore une fois cette donc en tout à partir du point de départ à partir de 12 ici on a enlevé une fois deux fois trois fois c'est ton pour n égale 4 on en met trois fois cette alors peut-être que tu vois ici mais quand on est incertain a une certaine valeur de haine en fait on enlève n moins une fois cette ici quand n est égal à quatre on enlevait 3 x 7 quand n est égal à 3 on enlève deux fois 7 quand elle est égale à 2 en enlève une fois cette donc effectivement dirais que c'est quelque chose comme ça quand on est à une valeur n en fait on enlève n moins une fois 7 alors là on obtient une expression c'est une expression dirait explicite c'est à dire que si je rentre une valeur de haine se calcule la va me donner directement la valeur f2 n donc l'image de haine par f alors on va voir si ça marche si cette formule marche alors f21 ici ça va être 12 dont keynes est égal à 1 ça va être ça va nous donner 12 - cette fois 1 - 1 ça fait 0 1 - 1 donc ça va donner 12 mois cette fois 0 c'est exactement ce qu'on a dit tout à l'heure et ça fait effectivement 12 donc pour f21 ça marche f-22 alors f-22 ses 12 - cette fois n est égale à deux donc c'est 2 - 1 ici donc cette fois 2 - 1 2 - 1 ça fait 1 donc on enlève une fois cette c'est ce qu'on a vu ici à tout à l'heure donc f-22 ses 12 - 7 ça fait 5 ça marche aussi f 2 3 on prend n égale à trois et on obtient ici 12 - cette fois 3 - 1 3 - 1 ça fait deux donc on va enlever deux fois 7 c'est ce qu'on avait dit tout à l'heure ici une fois deux fois 7 donc ça fait douze moins deux fois 7 2 x 7 ça fait 14 12 - 14 ça fait effectivement -2 et là aussi ça marche on va calculer maintenant f24 alors f24 ça fait 12 - cette fois 4 - 1 4 - 1 ça fait 3 donc on enlève effectivement 3 x 7 1 2 3 qu'on avait dit tout à l'heure 3 x 7 ça fait 21 donc on a ici 12 - 21 ce qui fait effectivement moins neuf donc là en tout cas pour ces termes là ça marche on retrouve exactement les mêmes valeurs à partir de cette formule explicite qui est ici alors on va continuer avec quelques exemples en plus pour s'entraîner voilà on va prendre ce tableau de valeur là alors ici on a un tableau de valeur comme tout à l'heure et puis là on nous a donné en fait c'est ce sont des formules explicite qui permettent de calculer f2 n à partir de la valeur de haine donc ça on va regarder tout à l'heure pour l'instant ce que je vais faire c'est déjà réécrire ce qu'il ya dans ce tableau de valeur là sous forme d'une suite numérique donc le premier terme c'est moins 100 ce terme là pour elle n'égale 1 le deuxième c'est moins 50 pour un égal 2 le troisième c zéro pour un égal 3 et puis le quatrième c'est 50 voilà ensuite il y en ad'autres on verra comment on peut les définir et en fait ce qu'on peut remarquer ici c'est que très clairement là on a une ce qu'on appelle une suite arithmétique ça veut dire que la différence comme tout à l'heure la différence entre deux termes consécutif est toujours la même ici pour passer de ce terme si à ce terme là donc deux moins 100 à -50 ce qu'on a fait c'est qu'on a on voit tout de suite on a ajouté 50 ici pour passer de moins 50 à 0 on a aussi ajouté 50 voilà et puis pour passer de 0 à 50 ben on a éveillé évidemment ajouter 50 aussi donc tu vois que là pour passer d'un terme à ceux au suivant on ajoute à chaque fois 50 ce qui est effectivement la définition d'une suite arithmétique alors maintenant on va se concentrer un peu sur les formules qui sont donnés ici et donc mais la vidéo sur pause et essaye de voir laquelle de ces formules correspond à la suite numérique qu'on a enfin laquelle de ces formules est effectivement une formule qu'on peut utiliser pour calculer les termes de la suite arithmétique qu'on a ici alors il y en a 3 il ya trois possibilités mais il peut y avoir plusieurs plusieurs formules qui sont bonnes ça j'en sais rien il faut que tu les examine tout voilà alors on va commencer par regarder la première la première qui est ici donc en fait ce qu'on dit ici c'est que on part 2 - sens et pour calculer f2 n par 2 - sens donc et on ajoute 50aine moins une fois alors on va voir si ça marche déjà pour le premier terme donc là moi j'ai je dois quand j'ai mon premier terme ici pour un égal 1 c'est moins 100 donc si je pars 2 - sens que je veux c'est ne pas ajouter du tout 50 puisque je veux rester à moins sans doute je veux ajouter 0 x 50 on peut dire ça comme ça alors effectivement là si je remplace n parrain n - 1 ça va faire zéro donc je vais avoir ce moins 100 + 50 x 0 donc je vais ajouter effectivement 0 x 50 donc ça ça marche pour moi c'est bon ça du cap au sénégal 1 ça marche on va regarder pour un égal 2 donc n égale à 2 je dois ajouter une fois 50 je parle d'au moins 100 et je dois ajouter une fois 50 puisque moins 100 + 50 ça fait moins 50 on va voir ce qui se passe ici alors je remplace n par deux et du coup je vais partir de -100 puis je vais ajouter 50 un certain nombre de fois et en fait ce nombre de fois ça va être je vends pas scène par deux donc je vais je vais avoir ici 2 - 1 2 - 1 ça fait 1 donc je vais ajouter une fois 50 et effectivement ça va faire moins sans plus une fois 50 c'est à dire moins 50 donc là aussi on est bon pour ce deuxième cas on va regarder pour n égale trois pour n égale 3 si je pars 2 - sens que je vois c'est que je vais ajouter deux fois 50 donc là à priori ça devrait marcher aussi puisque dans la formule ici je remplace n par trois donc je pars de -100 puis j'ajoute 3 - une fois 53 - 1 ça fait deux donc je vais ajouter effectivement deux fois 50 donc ça marche aussi pas vérifié avec le troisième celle là me semble vraiment pas mal on va vérifier avec le troisième enfin avec le terme avec la valeur n égale 4 plutôt donc en partant de n égale 3 je continue j'ajoute 50 et donc si je regarde combien de fois j'ai ajouté 50 en partant de -100 kg une fois deux fois trois fois j'ai ajouté trois fois 50 et là ça va marcher aussi puisque ici je pars de moins si je remplace n par quatre jeux par 2 - sens et j'ajoute quatre mois une fois 54 - ça fait 3 donc je vais ajouter effectivement trois fois 50 ce qui correspond à ce que j'ai fait ici donc finalement cette formule là eh ben elle est bonne je vais la garder alors maintenant on va examiner la deuxième donc celle-ci cf de haine qui est égal à -150 plus 50 aine alors on va voir si ça correspond en fait pour celle là ce que je vais faire c'est un tableau de valeur je vais faire un tableau de valeur ici dans la première colonne vais mettre les valeurs de haine et dans la deuxième colonne je vais me calculait les valeurs de f2 haine que j'obtiens avec cette formule là alors pour n égale 1 et bien f 2 nc - 150 plus 50 x 1 - 150 plus saint quentin 50 x 1 ça fait cinquante donc moins 150 puissance à +50 pardon ça fait moins 100 alors là pour l'instant ça marche un jour trouve effectivement la même valeur qu ici pour n égale 2 on va voir si ça marche aussi j'ai moins 150 je remplace m par 2 donc moins 150 plus 50 x 2 donc 50 x 2 s'affaissant donc j'ai moins 150 plus sans ce qui fait moins 50 alors ça c'est pas mal parce que là aussi ça coïncide avec cette valeur là on continue pour n égale 3 je remplace n par trois dans cette valve dans cette expression qui est là donc ça me donne moins 150 plus 50 x 3 50 x 3 ça fait 150 donc là j'ai moins 150 +150 ça fait zéro et là ça marche aussi je retrouve encore une fois la valeur d'ici qu'est dans ce tableau on va voir pour n égale 4 alors pour n égale 4g moins 150 plus 50 x 4 50 x 4 ça fait 2 105 x 4 ça fait vingt donc 50 x 4 ça fait 200 donc là j'ai 200 moins 150 ce qui fait 50 et là on retrouve ici aussi cette bonne valeur du tableau d'avant alors tu vois que finalement cette formule là elles marchent aussi un alors tu te dis peut-être oui mais c'est quand même bizarre parce qu'on a deux formules qui marchent alors qu'elles sont pas les mêmes elles sont différentes ces deux formules là alors c'est une bonne remarque mais en fait on peut passer de l'une à l'autre en faisant des opérations algébrique au revoir on va le faire je vais te montrer comment ça marche si tu prends la première f de haine qui est égal à -100 plus 50 x n - 1 et si tu distribues ici tu va distribuer ce 50 aux deux termes la parenthèse donc en fait ça va te donner bonjour écrit le moins 100 et puis tu vas avoir ici 50 x n donc plus 50 x n + 50 fois moins un de plus 50 fois moins ça fait moins 50 donc là on peut regrouper en à ce mois sans et ce moins 50 ça fait moins 150 plus 50 aine voilà et donc tu vois en fait on retrouve cette formule si donc ces deux formules à elles ont l'air différentes mais elles sont équivalentes est en fait ici on considère que le point de départ c'est n égale 1 qui vaut ce qui vaut au moins cent alors que d'une certaine manière dans cette formule là ça serait comme si on avait un premier point de départ qui était donné pour n égale zéro et qui aurait pour valeurs moins 150 voilà alors maintenant on va examiner le cas de la dernière la dernière formule qui est donné en scène ici là je le fais en rouge f2 n égale moins 100 + 50 alors ici je vais regarder pour f 2 1 déjà on va voir si ça marche pour f 2 1 donc je remplace anne parent ça me donne moins 100 je veux le faire ici - sans plus et je vais écrire ça comme ça f 2 1 dans ce cas là c'est moins 100 + 50 x 1 + 50 x 1 donc ça fait moins 100 + 50 - sans plus 50 ça fait moins 50 et là bas tu vois c'est pas la valeur qu'on devrait trouver nous on devrait trouver moins 100 donc ça marche pas pour n égale 1 donc ça suffit pour dire que cette formule là elle et elle ne correspond pas à notre suite numérique ici c'est pas la bonne formule voilà