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Passer d'une formule explicite d'une suite arithmétique à sa formule de récurrence, et inversement

Suites arithmétiques

Transcription de la vidéo

alors ici j'ai une fonction h de haine qui avait défini comme sa hache de nc - 31 - cette fois elle - 1 donc c'est une fonction alors traditionnellement la lettre n désigne des nombres entiers donc en fait ça c'est une fonction qui est définie pour les nombres entiers alors on l'a déjà vu en fait ça ça permet de définir une suite numérique on va essayer de calculer les premiers termes de cette suite numérique je vais faire un tableau de valeur ici j'ai la variable n donc le nombre entier n et puis là je vais calculé h de haine à chaque fois voilà alors pourrait n égale 1 n égale 1 je prends cette expression là je remplace anne parent et donc ça me donne moins 31 - cette fois 1 - 1 ça on peut calculer un moyen ça fait zéro donc là j'ai en fait - 31 - cette fois 0 cette fois 0 ça fait zéro donc tout ce terme là nuls et donc j'ai finalement h21 c'est -31 donc le premier terme de ma suite c'est moi 31 ensuite pour n égale 2 je remplace m par 2 donc j'ai moins 31 - cette fois n - dont kenny 6 et 2 donc les 2 - 1 alors 2 - 1 ça ça fait 1 donc finalement en fait j'ai moins 31 - cette fois un donc j'ai moi 31 - 7 ça fait moins 38 et tu vois là en fait je suis parti de -31 j'ai enlevé 0.7 ensuite ici je suis parti de -31 aussi et j'ai enlevé une fois cette donc j'obtiens -38 est ce qu'on peut remarquer tout de suite c'est que pour passer de cette valeur là à cette valeur là en fait j'ai enlevé 7 une fois alors je vais continuer avec une égale trois jeux calculé le troisième terme donc c'est moins 31 - cette fois 3 - 1 c'est à dire alors 3 - 1 je l'écris et 3 - 1 ça fait deux donc j'ai ici en fait je pars de -31 j'enlève deux fois 7 2 x 7 ça fait 14 31 - 14 ça fait moins 45 - 31 - 14 ça fait moins 45 et on peut remarquer la même chose que tout à l'heure c'est que ici en fait je suis parti de -31 j'ai enlevé une fois 7 là je pars de -31 et j'enlève deux fois 7 donc en fait pour passer de là à là on peut remarquer qu' on a enlevé aussi une fois cette alors plus précisément ce qu'on peut remarquer c'est que pour n égale 3 par exemple j'ai un je suis partie de moi 31 et j'ai enlevé j'ai enlevé 7 2 fois donc pour n égale trois j'enlève 7,2 fois pour n égale 2 j'enlève set une fois et pour n égale un genre f70 fois donc en fait je pars de 31 et à chaque fois j'enlève set une fois de moins que le nombre d'ont dont le nombre n entier dont je parle en tout cas du coup cette fonction là et me définit une suite numérique et les premiers de serre terme de cette suite c'est moins 31 - 38 je mets des points 1,1 c'est mieux pour que le cas où il ya des nombres décimaux c'est pas le cas ici mais bon je prends cette habitude là ensuite j'ai moins 45 et en fait j'obtiens chaque terme à partir du précédent en nous en enlevant sept donc ici je peux obtenir aussi le prochain c'est moins 45 - 7 j'enlève en corse est une fois ça fait moins 50 2 - 52 et puis je peux continuer comme ça avec ce procédé de calcul d'une certaine manière alors ce que je voudrais que tu fasses maintenant c'est que tu mettes la vidéo sur pause et que tu essaies par toi même de trouver une manière une définition par récurrence de cette suite numérique alors je te laisse travailler un petit peu puis on le fera ensemble on va essayer de définir une fonction nouvelle fonction je vais l'appeler g et qui va être défini par récurrence et on va essayer que qu'elle donne la même suite lequel représente la même suite numérique que celle ci est en fait d'une certaine manière c c'est un peu plus facile de définir cette suite numérique de cette manière là parce que ce qu'on va faire c'est que on va se dire je prends un premier terme g1 premier terme c'est le terme pour n égale 1 donc déjà je vais essayer de trouver ce premier terme ses bras qui dit je prends le premier terme pour n égale à 1 pourrait comment ca n égale de 12 si on voulait ou n'importe quel autre valeur ce qui est important c'est de spécifier un premier terme duquel on part en terme de base un terme initial on peut dire donc ici c'est je prends pour n égale 1 1 et si je veux décrire cette suite le premier terme ici c'est celui là c'est moins 31 donc je vais commencer comme ça je vais dire que j'ai 2 nc - 31 pour n égale 1 et puis pour définir les autres valeurs de cette fonction je vais utiliser le procédé de calcul qu'on m'a décelé dans cette suite numérique ici tout à l'heure donc en fait ce que je vais faire c'est que pour rennes strictement supérieur à 1 n un nombre entier 1 et bien je vais définir j'ai deux n à à partir de la valeur du terme précédent et plus précisément je vais dire que j'ai 2 nc la valeur du terme précédent -7 puisque pour passer d'un terme à celui suivant et bien je sue stresse est donc là le terme précédent bcg de haine - 1 et je lui enlève cette donc g2 est de moins en moins sept camps n est supérieur à 1 strictement entier voilà alors en fait ce qu'on dit c'est que tout simplement que si tu veut calculer interne n'importe lequel un terme quelconque de la suite numérique bas il suffit que tu regardes le cran d'avant le terme précédent et que tu lui sous stresse est comme ça voilà donc cette définition la marche très bien et pour calculer un terme on peut donc on regarde le terme précédent on lui enlève cette et pour calculer le terme précédent on peut revenir on peut regarder celui d' encore avant et lui enlever cette et remonter ainsi de suite jusqu'à arriver au point de départ dans notre cas c'est le terme de rang 1 voilà donc cette définition là et finalement assez naturel est assez simple à mettre en oeuvre et elle permet de reconstruire toute la suite numérique est donnée ici alors on va continuer on va faire un autre exemple de cette fois ci on va on va faire l' inverse c'est à dire qu'on va partir d'une fonction des fêtes défini par récurrence comme celle-là la hache de nc 9,6 yen est égal à 1 et ch2m moins en moins 0,1 sienne est strictement supérieur à 1 et entier aussi un nombre entier donc là on a une fonction qui est définie par récurrence et on va essayer de trouver une formule explicite qui donne les termes de la suite numérique alors déjà on va déterminer la suite numériques associés à cette formule là donc le premier terme c'est pour n égale 1-1 c'est 9,6 voilà et ensuite ce qu'on fait c'est que ont défini un terme à partir du précédent en faisant le terme précédent h2n2 moins en moins 0,1 donc si je calcule et le terme pieds ici je vais prendre ce terme là et enlever 0,1 donc ici vers l'or 9,6 mois 0,1 ça fait 9,5 voilà et puis là que je peux continuer a ensuite je vais avoir neuf points 5 - 0,1 je diminue à chaque fois de 0,1 donc ça me donne 9,4 jeu le terme suivant ça sera 9,3 à 9,3 c'est ce terme 6 mois 0,1 et puis je peux continuer comme ça à définir tous les autres termes de la suite numérique bon on peut aussi faire si on préfère un tableau de valeur je vais faire ici ici je vais m n ici je vais mettre h2n3 là alors pour n égale 1 1 j'utilise la formule qui est donnée ici hein j'utilise la définition qui est ici pour n égale 1 et bien h21 c'est 9,6 ensuite on va calculer h22 donc n est égal à 2 et h22 ce qu on lit ici c'est que ces haches de 2 - 1 donc h21 moins 0,1 h21 moins 0,1 alors h2s et 9,6 donc finalement j'ai 9,6 mois 0,1 ça fait 9,5 pour n égale trois on calcule âge de trois de la même manière dont cage de trois ça va être h 2 3 - 1 c'est-à-dire h22 moins 0,1 donc h23 ch 2 2 - 0,1 h22 on l'a calculé avancé 9.5 moins 0,1 ça fait 9,4 alors là c'est peut-être là même le moment de mettre la vidéo sur pause et d'essayer de de voir si on peut déterminer si on peut trouver une fonction qui va permettre de calculer explicitement directement tous les termes de la suite numérique qui est ici alors on va définir une autre fonction donc je vais l'appeler f de nf2 n est donc celle en fait ce que je vais faire pour définir cette fonction c'est que je vais partir de mon premier terme qui est 9,6 voilà donc je pars de ce terme là donc f2 nc 9,6 et en fait ce que je vais faire c'est que je vais soustraire 0,1 un certain nombre de fois donc je vais faire je vais dire que f 2 nc 9 6 - 0,1 fois un certain nombre ici donc je soustrais un certain nombre de fois à 0,1 alors si on regarde ce qui se passe ici quand je suis au premier terme je soustrais 0 x 0,1 quand je suis au deuxième terme ici c'est le deuxième terme est bien là j'ai soustrait une fois 0,1 et quand je suis au troisième terme qui est celui ci est bien en partant d'ici j'ai soustrait une fois puis deux fois 0,1 et le quatrième terme qui est ici est bien là j'ai soustrait une fois deux fois trois fois 0,1 pour partie en partant de 9,6 en fait là tu vois peut-être le procédé en fin de ce qui se passe exactement c'est que quand tu te mets un certain rang donc tu prends un nombre de la suite numérique occupe une certaine place et bien en fait ce que tu fais en partant de 9,6 c'est soustraire 0,1 ce nombre de places moins une fois ici quand on est à la deuxième place on soustrait une fois c'est à dire le nombre de places moins une fois et quand tu te mets à la troisième place tu soustrait deux fois donc le nombre de places moins une fois et ainsi de suite et en général quand tu te mets au rang n tu prends le terme de rang n donc c'est le énième terme ici eh bien tu vas avoir soustrait aide - une fois l aisne - une fois 0,1 donc cette formule là elle décrit exactement la même suite numérique qu ici et on peut le vérifier assez facilement d'ailleurs si tu prends f21 tu à 9,6 mois 0,1 x 1 - 1 donc ce terme là disparaît tu enlèves 0 x 0,1 donc le résultat c'est 9,6 et c'est bien le premier terme pour f-22 c'est pareil en fait ici 2 - 1 ça fait 1 donc finalement ça revient à enlever une fois 0,1 en partant de 9,6 donc c96 moins 0,1 ce qui donne 9.5 c'est bien ce qu'on a fait ici voilà tu peux continuer à faire les vérifications si tu veux le la clé ici c'est de bien comprendre que si tu cherches la valeur d'un terme par exemple du 13e terme eh bien tu vas soustraire tu vas partir de 9,6 et soustraire 13 - une fois 0,1 ici par exemple si je me mets à n égale 4 à 6 et n égale 4 ici donc c'est le terme qui occupe c'est le quatrième terme de la suite numérique bien ce que j'ai fait c'est que je suis parti de 9,6 j'ai enlevé une fois 0,1 ici une autre fois 0,1 ici et puis une troisième fois 0,1 ici voilà donc je cherche le terme le quatrième terne et jeu juste et je l'obtiens en soustrayant trois fois 0,1 de 9,6