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Contenu principal

Suites géométriques - les définitions

Pour faire le point.

Suite géométrique, formule explicite et formule de récurrence

Une suite est géométrique si le quotient de deux termes consécutifs est constant. Ce quotient constant s'appelle la raison de la suite.
Par exemple, la raison de cette suite géométrique est 2 :
start color #ed5fa6, times, 2, \curvearrowright, end color #ed5fa6start color #ed5fa6, times, 2, \curvearrowright, end color #ed5fa6start color #ed5fa6, times, 2, \curvearrowright, end color #ed5fa6
1, comma2, comma4, comma8, comma, point, point, point
Aussi bien la formule explicite que la formule par récurrence permettent de calculer le terme a, start subscript, n, end subscript pour toute valeur de n.
La formule explicite de la suite géométrique de premier terme start color #11accd, a, start subscript, 1, end subscript, equals, k, end color #11accd et de raison start color #ed5fa6, q, end color #ed5fa6 est :
a, start subscript, n, end subscript, equals, start color #11accd, k, end color #11accd, times, start color #ed5fa6, q, end color #ed5fa6, start superscript, n, minus, 1, end superscript
Sa formule de récurrence est :
{a1=kan=an1×q\begin{cases}a_1= \blueD k \\\\ a_n = a_{n-1}\times\maroonC q \end{cases}

Calculer les termes d'une suite géométrique de proche en proche

Si les trois premiers termes d'une suite géométrique sont 54, comma, 18 et 6, quel est le 4, start superscript, e, end superscript terme de la suite ? On voit que chacun des termes est égal au produit du terme précédent par start color #ed5fa6, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, end color #ed5fa6 :
start color #ed5fa6, times, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, \curvearrowright, end color #ed5fa6start color #ed5fa6, times, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, \curvearrowright, end color #ed5fa6
54, comma18, comma6, comma, point, point, point
Donc on multiplie le 3, start superscript, e, end superscript terme par la raison et on obtient 2 :
start color #ed5fa6, times, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, \curvearrowright, end color #ed5fa6start color #ed5fa6, times, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, \curvearrowright, end color #ed5fa6start color #ed5fa6, times, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, \curvearrowright, end color #ed5fa6
54, comma18, comma6, comma2, comma, point, point, point
Exercice 1
Quel est le 4, start superscript, e, end superscript terme de la suite géométrique start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, comma, 2, comma, 8, comma, dots?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Etablir la formule de récurrence qui définit la suite

Quelle est la formule de récurrence qui définit la suite géométrique de premier terme a, start subscript, 1, end subscript, dont les trois premiers termes sont 54, comma, 18 et 6, space, question mark On sait que la raison de la suite est start color #ed5fa6, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, end color #ed5fa6. Le premier terme est start color #11accd, 54, end color #11accd. Donc sa formule de récurrence est :
{a1=54an=an1×13\begin{cases}a_1 = \blueD{54} \\\\ a_n = a_{n-1}\times\maroonC{\dfrac{1}{3}} \end{cases}
Exercice 1
Quelles sont les valeurs de k et q dans cette formule de récurrence qui définit la suite start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, comma, 2, comma, 8, comma, dots.
{a1=kan+1=an×q\begin{cases}a_1 = k \\\\ a_{n+1} = a_{n}\times q \end{cases}
k, equals
  • Votre réponse doit être
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
q, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Etablir une formule explicite

Quelle est la formule explicite de la suite géométrique dont les trois premiers termes sont 54, comma, 18 et 6, si son premier terme est a, start subscript, 1, end subscript, space, question mark On sait que la raison de la suite est start color #ed5fa6, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, end color #ed5fa6 et que son premier terme est start color #11accd, a, start subscript, 1, end subscript, equals, 54, end color #11accd. Donc sa formule explicite est :
Pour tout n, ≥, 1, a, start subscript, n, end subscript, equals, start color #11accd, 54, end color #11accd, times, left parenthesis, start color #ed5fa6, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, end color #ed5fa6, right parenthesis, start superscript, n, minus, 1, end superscript
Exercice 1
Écrire une formule explicite de la suite géométrique, de premier a, start subscript, 1, end subscript, dont les 3 premiers termes sont start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, comma, 2 et 8. \operatorname{}
Pour tout n, ≥, 1, a, start subscript, n, end subscript, equals

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.