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Suite géométrique - Définition par une formule explicite ou par une formule de récurrence

Transcription de la vidéo

bonjour je préparais ici un tableau de valeur alors sur la première ligne j'ai mis les valeurs de n 1 2 3 et 4 et puis sur la ligne du tout j'ai noté la valeur correspondante de la fonction j'ai alors en fait cette fonction ce tableau de valeur la définit une suite numérique c'est-à-dire une suite de nombres est ici n bon c'est un petit peu de vocabulaire le nombre n qui est là en fait c'est on dit que c'est le rang du terme de la suite et j'ai 2 nc la valeur de ce terme alors je vais écrire ici la suite numérique le premier terme le terme de rang 1 il est donné dans cette colonne là et ses 168 sa valeur ces 168 ça c'est le premier terme de la suite ensuite j'ai le terme de rang 2 le deuxième terme de la suite c'est celui-là indiqué pour n égale deux essais sa valeur ces 84 84 pour n égale 3g le troisième terme c'est le terme de rang 3 ses quarante deux 42 celui que je lis ici et puis pour n égale 4g le quatrième terme c'est le terme de rang 4 c'est celui qui est indiqué dans cette colonne et c'est sa valeur ces 21 voilà alors ça ce sont les quatre termes qui sont définies dans ce tableau de valeur mais il peut y en avoir d'autres on va voir si on arrive à trouver une manière de définir des termes suivants de cette suite numérique donc pour l'instant je mets trois petits points comme ça pour dire qu'elle va continuer et on va voir justement comment alors pour ça on va regarder les valeurs les valeurs des termes de la suite et on va essayer de trouver une règle pour passer de l'un à l'autre alors si je pars du premier terme de rang 1 pour arriver au terme de rang 2 ben je peux bon je pourrais faire cent soixante huit mois 84 ça me donnerait effectivement 84 ça c'est une façon de voir mais on peut aussi dire que 4,84 c'est la moitié de 168 donc pour passer de 168 à 84 on a divisé par deux c'est à dire qu'on a multiplié par 1 2 me alors ça c'est plus intéressant parce que quand tu veux passer du terme de rang 2 au terme de rang 3 donc de 84 à 42 tu vois que là aussi tu peux x 1,2 me voilà et puis pour passer du terme de rang 3 au terme de rang 4 donc de 42 à 21 est bien là aussi tu peux encore une fois x 2000 divisé par deux voilà donc finalement si tu prends un terme dans ce tableau de valeur eh bien tu peut le déterminer en prenant le terme précédent et en le divisant par deux voilà donc avec ce procédé en tête tu peux aussi définir le terme le terme de rang 5 par exemple ça sera la moitié de 21 21 / de 21 x 1/2 et ainsi de suite tu peux continuer à calculer les termes successifs de la suite mais bon tu dois savoir si tu as vu les vidéos la vidéo précédente que ce type de suite là où on obtient un terme en prenant le précédent multipliant toujours par un certain nombre c'est ce nombre ici un demi qu'on appelle la raison de la suite eh bien c'est ce qu'on appelle une suite géométriques donc deux raisons ici un demi alors maintenant ce que j'aimerais c'est que tu mettes la vidéo sur pause et que tu essaies de ton côté de trouver une formule explicite qui va permettre de calculer le terme de rang n de cette suite géométriques c'est à dire que j'aimerais que tu trouves une fonction une certaine fonction f on va dire f de haine qui permettent de calculer directement dès que tu donnes valeur amd tu choisis si tu veux par exemple calculer le terme de rang sans déjoue dre une formule qui calcule directement ce terme là la valeur de ce terme là alors pour faire ça tu peux penser à partir du premier terme 168 et à regarder comment petit à petit tu devrais faire pour calculer un terme de rang ont voulu alors maintenant que tu as réfléchi de ton côté on va le faire ensemble donc ce qu'on va faire c'est ce que je te disais partir du premier terme le premier terme ses 168 et ce qui se passe c'est que quand je passe aux 2 au terme de rang de jeudi visent par je multiplie par un demi puis quand je passe ensuite au terme de rang 3 je multiplie encore par un demi et ainsi de suite je m'approche en multipliant à chaque fois par un demi du terme de rang que je veux calculé du terme que je veux calcul et du cou et du coup ça revient à fermer à partir de 168 et a multiplié sa part un demi un certain nombre de fois donc quand je multiplie par un demi un certain nombre de fois en fait je l'élève à une certaine puissance alors c'est ce qu'il faut que je trouve ici la puissance que je vais mettre ici donc on va observer un petit peu plus d'un petit peu plus près ce qui se passe quand je peux calculer le rend le terme de rang 2 je prends le terme de rang 1 et je multiplie une fois par un demi donc terme de rang 2 ans multiplie une fois par un demi pour le terme de rang 3 en fait ce que je dois faire c'est à partir du premier terme x 1/2 est arrivé au deuxième terme puis multiplier encore par un demi pour arriver au troisième terme donc je l'utilisé multiplier deux fois par un demi donc voix parent de mille fois un demi donc un demi au carré 1 1/2 puissance 2 et pareil pour calculer le terme de rang 4 en fait je dois à partir de 168 multiplier trois fois par un demi donc un demi soit un demi point 2007 à dire un demi à la puissance 3 alors en fait ce qui se passe c'est que pour calculer le terme de rang n est bien je vais x n qu'est le rang du terme que je veux calculé - 1 donc n - 1 effectivement ça marche puisque si je veux calculé le terme de rang 1 donc cf 2 1 je vais avoir ici 168 x 1/2 élevé à la puissance 1 - 1 donc élevé à la puissance 0 1 - 1 ça fait zéro 1/2 élevé à la puissance 0 ça fait 1 donc j'ai effectivement f2 inquiet 168 où je retrouve ce terme là pour n égale 2 je vais avoir un rêve de 2,6 à mettre 168 x 1/2 élevé à la puissance 2 - 1 c'est-à-dire 2 - 1 ça fait 1 donc 168 x 1 demi 1/2 puissance 1 c'est un demi et donc je retrouve effectivement ce terme là pour n égale 3 et bien gf2 3 qui est égal à 168 x 1/2 élevé à la puissance 3 - 1 c'est-à-dire élevé à la puissance 2 donc un demi fois un demi effectivement je fais exactement ce processus là donc je retrouve cette valeur là quarante deux époux rennes égale 4 c'est pareil f24 ses 168 x 1/2 élevé à la puissance 4 - 1 donc un demi élevé au cube ce qui veut dire que je suis parti de 168 j'ai multiplié une fois deux fois et trois fois pour par un demi et donc je trouve effectivement cette valeur là donc cette formule-là explicite c'est une formule qui effectivement donnent tous les termes de cette suite numérique alors évidemment c'est une expression algébrique donc on peut la manipuler on peut la transformer un petit peu effectivement je peux très bien écrire ça comme ça f de haine ses 168 là je fais juste des manipulations algébrique 1/2 élevé à la puissance n - 1 c'est un sur deux est élevé à la puissance n - 0 finalement je peux écrire ça comme ça f de ncs 168 divisé par deux élever la puissance n - en soit c'est une manière une autre manière équivalente décrire cette formule là je vais en écrire aussi une troisième en écrivant en réécrivant 1/2 élevé à la puissance n - indifféremment donc je vais faire ça je vais écrire que ces 168 fois et puis là je vais transformer un petit peu cette partie là cette partie là ici ça en fait un demi je vais l'écrire ici à 1/2 élevé à la puissance n - 1 c'est un demi élevé à la puissance n fois 1/2 élevé à la puissance - 1 puisque les exposants s'additionnent et là ici 1/2 élevé à la puissance - 1 est bien celle inverse de 1/2 un canton élèves à la puissance moins on prend là ça ça revient à prendre linverse du nom est donc ici la verse 2 1/2 c 2 donc finalement j'ai ça cet équivalent à deux fois 1/2 élevé à la puissance n du coup cette partie là ici je vais leur écrire comme sa foi ses 168 fois deux fois 1/2 élevé à la puissance n voilà et puis là je peux faire cette multiplication la 168 x 2 alors 160 x 2 ça va faire 320 et 8 x 2 ça fait seize donc ses 336 ça c'est cette partie là x 1/2 élevé à la puissance n voilà donc là j'ai trois formes différentes trois formules différentes mais qui sont tout équivalent entre elles celle ci est peut-être plus intuitive parce qu'on voit vraiment que on part de 168 donc du premier terme et qu'on multiplie n moins 1 fois par un demi donc on voit tout de suite le calcul qu'on fait ici mais ces deux autres là sont tout à fait équivalente on peut les utiliser un des freins différemment je peux faire une petite parenthèse aussi parce que j'ai je suis parti d'une fonction j'ai ici et là cette fonction là je les appelais f et en fait c'est la fonction j'ai puisque en tout cas elle donne exactement ces valeurs là donc je vais d'appeler g ce sera plus cohérents avec ce tableau qui est là donc j'ai de haine on a trois formes ces trois formes là pour calculer directement g de haine alors maintenant ce qu'on peut faire c'est essayer de définir cette suite numérique par une formule de récurrence donc de donner une définition par récurrence de cette suite numérique alors on l'a vu déjà dans le cas des suites arithmétique en fait la définition par récurrence et souvent beaucoup plus facile à formuler un puisqu'elle correspond vraiment aux procédés de calcul alors on va de la définir comme ça j'ai deux ailes donc ça va être procédé je vais faire deux cas différents pour n égale 1 je vais définir en fait le terme de départ ici ça va être n égale 1 c'est le premier terme de ma de ma suite eh bien je vais dire que j'ai 2 nc 168 jeu par 268 et puis ensuite pour les autres entier donc pour n supérieur strictement à 1 mais entier un nombre entier notre fonction l'ag va être défini pour des valeurs entière pour tous les antilles et supérieurs ou égaux à 1 est là comment je vais faire en fait je vais définir je veux dire que j'ai de haine et bien c'est en le calquant sur le procédé de calcul ici pour trouver g2l je vais regarder le terme précédent et le x 1/2 alors alors je vais l'écrire comme ça j'ai un demi x le terme précédent donc le terme de rang n - un cg de haine - 1 voilà et là on a une définition par récurrence de cette suite numérique tu peux vérifier que tu retrouves exactement tous ces termes qui sont ici tu peux le faire si pro tu prends n égale 1-1 et bien tué dans ce cas-là 168 donc j'ai 2 1 est égal à 168 ce qui est bien ce terme là si tu prends n égale 2 et bien tué dans ce dans cette clause la de la définition de g et tu dois remplacer n par deux donc j'ai de deux ça sera un demi de g 2 1 puisque ici 2 - 1 ça fait 1 1/2 de g21 donc tu pars 268 et tu multiplies par un demi ça te donne effectivement 84 voilà tu peux vérifier pour les autres valeurs que ça marche très bien et donc ici on a deux moyens essentiellement une manière explicite de calculer les termes de la calculer les termes de la suite et puis cette autre définition là par récurrence