Somme des termes d'une suite arithmétique - exemple

alors ici je te propose de calculer cette somme moins 50 plus -44 plus -38 plus ainsi de suite jusqu'à + 2038 et plus 2044 alors mais la vidéo sur pause et essaye de ton côté de calculer cette somme et puis ensuite on se retrouve alors avant d'aborder vraiment le calcul de la somme ce qui est intéressant c'est d'essayer de regarder s'il ya pas une loi qui permet de passer d'un terme de cette somme à celui qui suit pour voir de quoi il s'agit en fait alors ici je pars de -50 et je vais jusqu'à -44 donc en fait ici pour passer du premier terme au deuxième terme on a ajouté six moins 50 + 6 ça fait moins 44 et puis ensuite pour passer du deuxième terme au troisième donc de -44 à -38 est bien ici aussi on a ajouté 6 1 - 44 +6 ça fait moins 38 donc ici on a l'impression que chaque terme est égal au précédent augmenté de 6,1 alors on va regarder si c'est vrai pour les deux derniers qui sont ici 2038 +6 2038 plus si ça fait bien 2044 donc finalement c'est bien ça cette somme là c'est la somme de plusieurs termes et chaque terme est égal au précédent augmenté de 6 donc c'est ce qu'on appelle une suite arithmétique tu l'auras reconnu et donc cette somme là eh bien c'est la somme des premiers termes d'une suite arithmétique alors dans une vidéo précédentes on avait déjà vu une formule qui permet de calculer la somme des haines premier terme d'une suite arithmétique je vais te pardonner ici cette formule la somme s ndm premier terme d'une suite arithmétique et bien en fait c'est le premier terme je l'appelle à un plus le dernier terme de la somme donc le énième terme divisé par deux voilà tu peux le voir comme ça c'est la moyenne entre le premier et le dernier terme de la somme divisée par deux le tout multiplié par le nombre de termes qui donc est m voilà donc la moyenne du premier du dernier terme multiplié par le nombre de termes alors ici on sait qu'elles sont le premier et le dernier terme le premier terme on sait que c'est celui-là - 50 donc ça c'est notre premier terme à 1 et puis le dernier terme c'est celui là qui est donc le terme à m mais le problème c'est qu'on sait pas en fait combien de termes il ya dans cette somme là donc on ne connaît pas lundi ce n 10 6 1 le terme de rang n il faut qu'on arrive à déterminer le rang de ce dernier terme alors comment est ce que je peux faire ça et bien ce que je vais faire c'est calculé la différence entre le dernier terme à n à n est le premier terme à 1 donc ça c'est 2044 - moins 50 et donc 2044 - mois 50 ça fait 2044 +50 ça fait donc 2080 14 en fait qu'est ce que je fais ici je regarde comment j'ai fait pour aller de 1 à 1 à n donc d'abord je pars de -50 et je vais jusqu'à 0 en ajoutant 50 et puis ensuite il faut encore que j'ajoute 2044 donc en tout pour passer de a1 à ng dû ajouter 2094 et pourquoi est-ce que je calcule savent bien c'est pour arriver à déterminer combien de fois j'ai dû ajouter 6 pour passer de a1 à m alors comment est ce que je peut déterminer maintenant ce nombre de fois que je dois ajouter 6 pour passer de -50 à 2044 eh bien je vais tout simplement divisé ce nombre là 2094 par six alors je vais poser la division 2094 / 6 alors dans 20 je peux mettre trois fois 6 3 fois ci ça fait dix-huit jeu mais 18 ici 20 - 18 ça fait 2 jabès le 9 29 combien de fois je peux mettre six dans 29 et bien c'est 4 4 x 6 ça fait 24 donc j'ai 29 - 24 ça fait 5 et puis ensuite jabès leucate et je me retrouve avec 54 et combien de fois je peux mettre six dans 54 c'est exactement 9 1 9 fois ci ça fait cinquante quatre donc j'ai 54 - 54 kg 1re est nul donc pour passer de -50 à 2044 j'ai dû ajouter 349 x 6 donc ici je les ajouter une première fois ici je l'ajouté une deuxième fois ainsi de suite et puis là cette fois ci c'est la dernière fois c'est la 349ème fois alors c'est pas tout à fait le nombre de termes de la somme que j'ai ici je te rappelle qu'on cherche à déterminer le rang n du dernier terme donc en fait le nombre de termes qu'il y a dans cette somme et ici j'ai vu que j'avais ajouté 349 x 6 et quand je fais ça en fait je compte ce terme là ce terme-là le terme qui vient ensuite jusqu'au dernier terme mais on ne compte pas le premier terme le moins 50 qui est là le terme à 1 donc il faut faire attention ici parce que le nombre de termes de la somme s'est pas 349 comment on pourrait avoir l'impression ici mais c'est 350 puisqu'il faut ajouter ce premier terme à du coup m c'est égal 1 350 et du coup on peut calculer cette somme là en fait cette somme lassés s350 c'est la somme des 350 premier terme de notre suite arithmétique ici et donc je vais la calculer comme ça c'est le premier terme plus le dernier terme divisé par deux donc le premier terme ici c'est moins 50 plus le dernier terme qui est 2044 divisés par deux x 350 le nombre de termes là je fais vraiment rien d'autre qu' appliquer cette formule là puisque maintenant on connaît toutes les composantes de cette formule alors maintenant on va faire ses calculs moins 50 plus 2044 ça fait alors ça fait 1994 donc finalement on à 1994 / 2 x 350 alors je peux le faire comme ça 350 divisé par deux sa fait 175 donc finalement ça c'est égal à 1994 x 175 donc ça je vais le faire avec la calculatrice et un petit peu plus vite voilà donc 1994 x 175 et ça fait 3 148 1950 348 1000 348 1950 est ce que c'est bien ça j'ai pas oublier en cours de route non c'est ça 348 1950 donc voilà on a terminé on a répondu aux problèmes qu'on s'était posée ça c'est bien le résultat de la somme qu'ont essayé de calculer et voilà mon juste par curiosité si tu veux ce qu'on peut faire c'est d'exprimer cette somme là avec le symbole sigma de la somme donc ça en fait c'est la somme pour k qui va 2 1 jusqu'à 350 et les termes de notre suite eh bien c'est moins 50 ça c'est le premier plus si ce qui est la raison de notre suite x cac -1 alors ici je mets cas - et pas cap parce qu'on ne doit pas ajouter si ce dès le premier terme donc pour qu'à égal 1 ici il ne faut pas ajouter 6 donc en écrivant ici six fois cac -1 effectivement je pars du premier terme qui est égal à moins 50 donc voilà ça je le mets entre crochets comme ça et ça c'est donc l'expression de cette somme là avec le symbole sigma de la somme et cette somme là on vient de calculer quelle est égal à 348 1950