Somme des termes d'une suite arithmétique - Notation Sigma

alors dans cette vidéo je voudrais qu'on calcule cette somme là la somme pour k qui va de 1 à 152,2 cas + 50 donc ce que j'aimerais bien c'est que tu mettes la vidéo sur pause comme d'habitude que tu essayes de réfléchir de ton côté et ensuite on se retrouve pour le faire ensemble alors moi quand je j'aborde ce genre de somme j'aime bien me représenter un petit peu ce que sont que les termes de cette somme donc je commence en fait par écrire je la somme un petit peu en extension comme ça donc le premier terme c'est pour qu'à égal à 1 donc ces deux fois 1 + 50 le deuxième terme c'est pourquoi égale à deux donc c'est deux fois deux +50 suite le troisième terme c'est pourquoi égale à 3 donc ces deux fois 3 plus 50 et ainsi de suite alors ensuite je vais écrire simplement le dernier terme le dernier terme c'est pour qu'à égale 550 on me dit que qu'à aller de 1 à 5 150 donc ici ça me donne deux fois 550 plus 50 voilà donc si tu veux ça c'est notre premier terme ça c'est notre deuxième terme ça c'est le troisième terme ainsi de suite et ça c'est le dernier terme qui est le 550e terme puisque ici on a bien une somme de 550 terme alors bon on va calculer ces termes là le premier terme 2 x 1 + 50 ça fait cinquante deux 52 plus le deuxième c'est deux fois de plus 54 plus 50 ça fait cinquante quatre ensuite deux fois 3 + 50 ça fait 56 et ainsi de suite jusqu'au dernier alors le dernier ces deux fois 550 ça ça fait 1100 +50 donc 1150 donc ce que je viens de faire ici ça permet de voir un petit peu mieux de quoi est constitué cette somme si on ne le voit pas directement à partir de l'expression qui est donnée ici au départ en fait ce qu'on fait c'est partir de 52 et ajouté deux à chaque fois effectivement ici pour passer de 52 à 54 on a ajouté deux pour passer de 54 à 56 on a ajouté 2 et ainsi de suite on ajoute à chaque fois deux pour passer aux termes suivants et ça en fait ça veut dire que la somme qu'on doit calculer et bien c'est la somme des termes d'une suite arithmétique donc ça veut dire que finalement les termes de notre sommet bien ce sont les termes d'une suite arithmétique de raison de et de premier terme 50 2 est donc ce qu'on doit calculer finalement la somme qu'on doit calculer ici c'est la somme des 550 premier terme de cette suite arithmétique alors dans d'autres vidéos on a vu une formule qui permettait de calculer la somme des hemmes premier terme d'une suite arithmétique ce qu'on va faire ici celle appliquée d'abord dans un premier temps et puis ensuite on essaiera de comprendre aussi pourquoi est-ce qu'on a cette formule alors cette fameuse formule je vais te l'a redonné ici si tu t'en souviens plus la somme s ndn premier terme d'une suite arithmétique et bien c'est le premier terme que j'appelle à un plus le dernier terme donc le terme de rang n que j'appelle à haisnes diviser par deux le tout multiplié par n donc tu peux voir ça comme ça c'est la moyenne du premier et du dernier terme de la somme multipliée par le nombre total de terme donc dans notre cas ici en fait on a une somme des 550 premier terme donc n est égal à 550 est ce qu'on doit calculer finalement cs de 550 et c'est donc égale au premier terme alors le premier terme ces 52 c'est celui là ça c'est notre terme à 1 donc cinquante deux plus le dernier terme qui est celui-là 1150 on vient de le calculer 1150 c'est le terme à 555 150e terme divisé par deux multipliée par le nombre de termes qui est donc 550 alors 52 plus 1150 sas a fait 1200 2 1202 x 550 et en fait je vais / 2 550 divisé par deux sa fait 275 voilà donc cette somme là elle est égale à 1202 x 275 alors je vais le faire avec la calculatrice 1202 x 275 c'est égal à 330 milles 550 donc finalement voilà notre résultat c'est qu'est ce que j'ai dit trois cent trente mille cinq cent cinquante trois cent trente mille cinq cents 50 voilà donc on a terminé mais ce que je t'avais dit c'est qu'on essaierait de comprendre un petit peu aussi pourquoi est-ce qu'on a cette formule qu'on a appliqué ici alors ici je vais tout simplement écrire la somme s de 550 donc j'ai déjà écrites ici hein on a dit que c'était 50 2 + 54 plus du coût 56 plus ainsi de suite jusqu à 1150 maintenant je vais la réécrire une deuxième fois donc je réécris s de 550 mais comme c'est une suite d'addition en fait je peux changer l'ordre dans lequel je fais cette addition et là je vais la réécrire à l'envers je vais écrire d'abord le dernier terme donc 1150 plus celui qui est après duke était donc celui d'avant ici ses 1150 moins deux donc c'est 1148 ensuite celui qui vient juste après bien c'est 1148 moins deux donc c'est 1146 ensuite je fais comme ça jusqu'au bout et là j'arrive donc au premier terme inquiète donc 52 voilà j'ai tout simplement écrit exactement la même somme mais dans l'ordre inverse alors maintenant je vais additionner ses deux lignes donc déjà de ce côté là quand j'additionne s de 550 et s de 550 ce que j'obtiens ces deux fois s de 550 et puis ensuite je vais faire cette addition mais je vais la faire en fait en colonne donc je vais commencer déjà par additionner ses deux nombreux là donc ici 52 plus 1150 et bien je pense que tu vois ce que ça fait c'est ce qu'on avait ici ça fait 1202 1202 tu vois que on retrouve ce nombre là quelque chose d'intéressant ensuite on va additionner ces termes là en colonnes donc on va avoir plus 54 plus 1148 20 si tu fais le calcul ça ça fait 1202 aussi ensuite on va additionner ça en colonnes ces deux termes là donc on va ajouter +56 plus 1146 et 56 plus 1146 ça fait encore une fois 1202 et puis on fait ça pour tous les termes successifs en colonnes le dernier c'est celui là donc si tu veux on va avoir ici une somme de 2 terme en colonnes dont le résultat fait aussi 1202 et ainsi de suite à chaque fois on additionne en colonne et on trouve 1202 jusqu à ce qu on additionne ces deux derniers termes 1150 +52 on a déjà calculé ici ça fait aussi 1202 en fait la clé c'est que quand on additionne en colonnes comme ça et bien on trouve toujours la même valeur qui est ici 1202 alors maintenant la question c'est combien de fois j'ai cette valeur là ce nombre-là 1202 mais en fait je les 550 fois puisque ici j'avais 550 colonnes g550 terme ici et 550 terme en dessous donc 550 colonnes donc j'ai effectivement 550 x 1200 2 donc ça c'est égal à 1202 x cinq cents 50 et maintenant donc j'ai cette égalité le double de la somme s de 550 c'est égal à 1202 x 550 ce qui veut dire que la somme que ont cherché à calculer s de 550 et bien c'est 1200 2 x 550 divisés par deux et tu vois que c'est exactement la formule qu'on avait ici voilà j'espère que cette vidéo tard à aider à comprendre comment on peut calculer la somme des haines premier terme d'une suite arithmétique et aussi pourquoi est ce qu'on a cette formule