Somme des termes d'une suite géométrique - Exemples

alors je te propose de commencer par cet exercice là on nous demande de calculer la somme des 50 premiers termes de la suite qui est donnée ici et comme d'habitude se propose de commencer par réfléchir là dessus de ton côté en mettant la vidéo sur pause et puis ensuite on se retrouve pour le faire ensemble alors la clé ici c'est de réaliser qu'en fait les termes de cette somme qui sont ici ce sont les termes d'une suite géométriques et la raison de cette suite est bien c'est 10/11 effectivement ici on a un premier terme qui est un et pour passer au deuxième terme on multiplie par 10 11e 10/11 c'est une fois disque 11e et puis ensuite pour passer du deuxième terme au troisième terme celui qui suit eh bien on multiplie encore par 10 11e voilà ça c'était la première chose à remarquer c'est la règle qui permet de passer d'un terme de cette somme au suivant donc c'est une suite géométrique de raisons 10/11 et on a vu dans une vidéo précédente une formule qui permet de calculer la somme des premiers termes d'une suite géométriques alors cette formule vais te l'a rappelé ici la formule quand on veut calculer la somme des haines premier terme d'une suite géométriques et bien c'est le premier terme a multiplié par 1 - la raison qu élevé à la puissance n qui est le nombre de termes / 1 - la raison alors maintenant le tout c'est de repérer qui sont les éléments qui constituent cette formule dans notre cas ici le premier terme a et bien c'est le nombre inquiets là ça c'est le premier terme de notre somme et puis la raison de notre suite eh bien on l'a dit tout à l'heure c'est le nombre par lequel il faut multiplier chaque terme pour obtenir le terme suivant donc c'est celui ci c'est 10/11 c'est la raison de notre suite donc ça c'est le cul qui est là qu'on retrouve ici aussi hein et puis enfin il faut aussi qu'on détermine le n qui est là ce n est là qu on retrouve ici en exposant et ça c'est le nombre de termes de la somme qu'on calcule donc ici on sait que l'on doit calculer la somme des 50 premiers terme donc c'est une somme qui contient 50 terme donc n ici c'est 50 donc finalement ce qu'on doit calculer cs de 50 alors je vais le faire en verre ici s de 50 et bien c'est donc le premier terme qui est un x alors j'ai une fraction avec au numérateur 1 - la raison élevé à la puissance 50 donc 1 - 10/11 élevé à la puissance 50 / 1 - la raison alors maintenant on va faire quelques simplifications donc déjà ce qu'on peut faire c'est oublier le inquiets l'ap donc je vais leur écrire c'est un moins 10 11e élevé à la puissance 50 / 1 - 10 11e en fait ça ça fait 11 rose y ait moins 10 11e ça fait donc un onzième est là donc je dois diviser ce numérateur là par un onzième ce qui revient en fait à multiplier le numérateur par l' inverse de 1 11e c'est à dire par onze donc j'obtiens cette expression la 11 fois alors je vais mettre des crochets pour que ce soit plus propre 1 - 10/11 élevé à la puissance 50 voilà on va se contenter de cette expression là pour notre exercice alors maintenant on va faire celui-ci on nous demande de calculer la somme 1 - 0 99 plus 0.99 au carré - 0.99 puissance 3 ainsi de suite jusqu'à - 0.99 puissance 79 alors dans ce cas ci c'est peut-être un petit peu plus facile de voir qu'en fait les termes qu'on doit additionner ce sont les termes d'une suite géométriques puisque les termes ici sont exprimés comme des puissances de 0,99 donc on peut appliquer la formule que j'ai rappelé tout à l'heure la somme des haines premier terme d'une suite géométriques c'est le premier terme a multiplié par 1 - q quelle est la raison élevé à la puissance n qui est le nombre de termes / 1 - k alors comme tout à l'heure on va essayer de comprendre quels sont les éléments de notre formule dans ce cas ci alors la première chose c'est qu'effectivement le premier terme c'est celui ci a il est égal à 1 donc assez sains et puis ensuite la raison qu alors il faut faire un petit peu attention la raison qu qui est ici puisque ici on pourrait avoir l'impression qu'en fait pour passer d'un terme aux termes suivants on multiplie par 0.99 mais c'est pas tout à fait ça puisque si tu regardes bien ce qui se passe en fait on a des signes alterné 1 on a d'abord un signe - ensuite plus - plus à chaque fois ça à terme donc il faut regarder les choses d'un peu plus près alors ici quand je passe du premier terme au deuxième jeu par 2-1 et j'arrive à - 0.99 donc ici j'ai multiplié en fait pas par 0.99 mais par - 0,99 voilà et puis ensuite pour passer du deuxième terme au troisième qui est celui ci eh bien je passe de - 0.99 à + 0.99 au carré ce qui veut dire qu'en fait là j'ai encore une fois x - 0,99 et tu peux continuer à observer ce qui se passe après donc la raison qu ici finalement c'est moins 0,99 donc on retrouve ici et ici au dénominateur alors il nous reste à déterminer le nombre n ici on retrouve ici en exposant et ça en fait c'est le nombre de termes de masse hommes alors ici on aurait le dernier terme et experte élevé à l'exposant 79 donc en aurait tendance à penser qu'il y à issy 79 termes que ça c'est le 79e terme mais en fait c'est pas tout à fait ça puisque ici on part du premier terme le premier terme en fait c'est le terme obtenu pour l'exposant 0 c'est la raison et levait la puissance 0 le deuxième c'est celui qui correspond à un exposant 1 et donc tu vois qu'en fait on commence à compter les termes à partir de zéro donc ici il y à un terme de plus donc ce terme là en fait c'est le 80e terme donc ici n est égal à 80 je sors je fais la somme de 80 terme et du coup s80 qu'on doit calculer et bien c'est le premier terme qui est un x alors j'ai une fraction ici avec au numérateur 1 - la raison qu donc -0 99 élevé à la puissance 80 puisque n est égal à 80 ici on calcule s de 80 ça c'est le numérateur et au dénominateur g1 moins la raison qu donc 1 - - 0,99 ça fait un plus 0,99 je peux faire quelques simplifications donc le 1 déjà je suis pas obligé de le compter une fois quelque chose ça change rien et puis donc au numérateur j'ai un mois - 0.99 élevé à la puissance 80 et comme l'exposant et perd ici -0 99 élevé à la puissance 80 c'est égal à 0.99 élevé à la puissance 80 donc ce qui me reste au numérateur c'est un moins 0,99 élevé à la puissance 80 et puis au dénominateur g1 plus 0.99 c'est-à-dire 1,99 voilà on a terminé et je te propose quand même de faire un dernier exercice de ce genre là calculer la somme des 30 premiers termes de la suite défini par alors un égal dit ça c'est le premier terme de la suite et puis à n égale 9/10 x aen -1 soit c'est une relation qui relie le terme de rang n -1 et le terme de rang n est en fait elle nous indique que cette suite c'est bien c'est une suite géométrique de raisons 9/10 donc on a une suite géométrique de raison qu égale 9/10 donc ce qu'on doit faire ses calculs et la somme des 30 premiers termes d'une suite géométrique de raisons 9/10 alors on va utiliser la même formule que tout à l'heure puisqu'on est dans le cas d'une suite géométriques aussi et donc cette formule de teulat rappelle ici c'est le premier terme a ici alors le premier terme on le connaît c'est pour nous ça sera à un égal 10 c'est le premier terme et puis la raison bas on a dit que c'était neuf dixièmes la raison qu cayla et puis enfin il faut qu'on détermine n ce n est qu on retrouve en exposant est en fait ce n 'est le nombre de termes donc ici c'est 30 puisqu'on nous demande de calculer la somme des 30 premiers terme donc n est égal à 30 voilà alors on a tout ce qu'il faut je vais maintenant calculer est-ce du coup de 30s de 30 donc c'est le premier terme qui est ici 10 x alors la fraction 1 - neuf dixièmes qui est la raison 9/10 élevé à la puissance 30 le tout divisé par un moins la raison donc un moins neuf dixièmes voilà alors jeu on a obtenu la réponse déjà mais je vais quand même la simplifier un petit peu s 30 c'est donc égale alors le numérateur jeu de rien changé je vais laisser comme ça ça ira très bien par contre au dénominateur g1 moins neuf dixièmes ça ça fait un dixième donc je vais avoir 10 x 1 - 9/10 élevé à la puissance 30 sur un dixième donc je divise ce numérateur par un dixième c'est à dire que je le multiplient en fait par dix donc finalement s 30 c'est égal à 100 x 1 alors je vais mettre des crochets ici un moins neuf dixièmes élevé à la puissance 30 voilà ça c'est notre résultat c'est la somme des 30 premiers termes de cette suite géométriques