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Cours : 5e année secondaire - 2 h > Chapitre 2 

Leçon 2: Suites arithmétiques

Établir une formule explicite qui définit une suite arithmétique

Par exemple, comment établir la formule explicite de la suite 3, 5, 7.....

Retour sur la formule explicite

Une forme explicite de la définition de la suite 3,5,7, est :
Pour tout n1, an=3+2(n1)
n est un entier naturel supérieur ou égal à 1 et an est le terme d'indice n ou de rang n.
Pour trouver un terme de rang donné i, il suffit de remplacer n par i dans la formule.
Par exemple, pour calculer le cinquième terme, on remplace n par 5 :
a5=3+2×(51)=3+2×4=3+8=11
On peut vérifier que 11 est bien le cinquième terme de la suite.

À vous !

1) Calculer b10 si une forme explicite de la définition de la suite (b) est : pour tout n1, bn=5+9(n1).
b10=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Etablir une formule explicite

Soit la suite arithmétique 5,8,11, Son premier terme est 5 et sa raison est 3.
A partir du premier terme qui est 5, on peut calculer de proche en proche chacun des termes de la suite en ajoutant à chaque fois la raison 3 :
nCalcul du terme de rang n
15=5+0×3=5
25+3=5+1×3=8
35+3+3=5+2×3=11
45+3+3+3=5+3×3=14
55+3+3+3+3=5+4×3=17
Le terme de rang n est égal à la somme du premier terme 5 et du produit de la raison 3 par n1 : an=5+3(n1).
Une forme explicite de la définition de la suite (u) de premier terme u1=a et de raison r est :
un=a+r(n1)

À vous !

2) Une forme explicite de la définition de la suite 2,9,16,, de premier terme u1, est :
un=

3) Une forme explicite de la définition de la suite 9,5,1,, de premier terme v1, est :
vn=

4) Une forme explicite de la définition de la suite arithmétique (w) est : pour tout n1, wn=6+2(n1).
Quel est le premier terme de cette suite ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
Quelle est sa raison ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Une formule explicite peut s'écrire de différentes façons

La forme explicite de la définition d'une suite arithmétique n'est pas unique.
Par exemple, voici des expressions de la formule explicite de la suite 3,5,7, :
  • 3+2(n1) (comme on l'a vu plu haut)
  • 1+2n
  • 5+2(n2)
Il est clair que ces expressions sont égales.
Mais ceci peut être une source d'erreur

Une erreur à ne pas faire

Si le premier terme de la suite est u1 et si la formule explicite est sous la forme un=a+bn, alors u1 n'est pas égal à a et la raison de la suite n'est pas égale à b.
Par exemple, soit la suite 2,8,14, de premier terme u1=2 et de raison 6.
Sa formule explicite est un=2+6(n1) et non un=2+6n qui définit une autre suite.
Pour écrire 2+6(n1) sous la forme a+rn, il suffit de développer et de réduire :
=2+6(n1)=2+6n6=4+6n
La formule un=4+6n est plus courte que la formule un=2+6(n1), mais l'avantage de la deuxième formule est de mettre en évidence le premier terme et la raison de la suite.

À vous !

5) Des écritures du deuxième membre de la formule explicite qui définit la suite 12,7,2, pour tout n1, sont :
Choisissez toutes les réponses possibles :

Un dernier exercice

6*) Quel est le 124e terme de la suite arithmétique 199, 196, 193... ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

7*) (v) est une suite arithmétique. v1=5 et v10=59.
Quelle est la raison de cette suite ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

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