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Cours : 5e année secondaire - 2 h > Chapitre 2

Leçon 3: Suites géométriques

Suites géométriques - les définitions

Pour faire le point.

Suite géométrique, formule explicite et formule de récurrence

Une suite est géométrique si le quotient de deux termes consécutifs est constant. Ce quotient constant s'appelle la raison de la suite.

Par exemple, la raison de cette suite géométrique est

2

	$\times 2 ↷$ ‍		$\times 2 ↷$ ‍		$\times 2 ↷$ ‍
$1,$ ‍		$2,$ ‍		$4,$ ‍		$8, …$ ‍

Aussi bien la formule explicite que la formule par récurrence permettent de calculer le terme

a_{n}

pour toute valeur de

n

La formule explicite de la suite géométrique de premier terme

a_{1} = k

et de raison

q

est :

a_{n} = k \times q^{n - 1}

Sa formule de récurrence est :

{\begin{cases} a_{1} = k \\ a_{n} = a_{n - 1} \times q \end{cases}

Une vidéo.

Calculer les termes d'une suite géométrique de proche en proche

Si les trois premiers termes d'une suite géométrique sont

54, 18

6

, quel est le

4^{e}

terme de la suite ? On voit que chacun des termes est égal au produit du terme précédent par

\frac{1}{3}

	$\times \frac{1}{3} ↷$ ‍		$\times \frac{1}{3} ↷$ ‍
$54,$ ‍		$18,$ ‍		$6, …$ ‍

Donc on multiplie le

3^{e}

terme par la raison et on obtient

2

	$\times \frac{1}{3} ↷$ ‍		$\times \frac{1}{3} ↷$ ‍		$\times \frac{1}{3} ↷$ ‍
$54,$ ‍		$18,$ ‍		$6,$ ‍		$2, …$ ‍

Exercice 1

Quel est le $4^{e}$ ‍ terme de la suite géométrique $\frac{1}{2}, 2, 8, \dots$ ‍?

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Etablir la formule de récurrence qui définit la suite

Quelle est la formule de récurrence qui définit la suite géométrique de premier terme

a_{1}

, dont les trois premiers termes sont

54, 18

6 ?

On sait que la raison de la suite est

\frac{1}{3}

. Le premier terme est

54

. Donc sa formule de récurrence est :

{\begin{cases} a_{1} = 54 \\ a_{n} = a_{n - 1} \times \frac{1}{3} \end{cases}

Exercice 1

Quelles sont les valeurs de $k$ ‍ et $q$ ‍ dans cette formule de récurrence qui définit la suite $\frac{1}{2}, 2, 8, \dots$ ‍.

{\begin{cases} a_{1} = k \\ a_{n + 1} = a_{n} \times q \end{cases}

k =

q =

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Etablir une formule explicite

Quelle est la formule explicite de la suite géométrique dont les trois premiers termes sont

54, 18

6

, si son premier terme est

a_{1} ?

On sait que la raison de la suite est

\frac{1}{3}

et que son premier terme est

a_{1} = 54

. Donc sa formule explicite est :

Pour tout

n \geq 1

a_{n} = 54 \times {(\frac{1}{3})}^{n - 1}

Exercice 1

Écrire une formule explicite de la suite géométrique, de premier $a_{1}$ ‍, dont les $3$ ‍ premiers termes sont $\frac{1}{2}, 2$ ‍ et $8$ ‍. ‍

Pour tout

n \geq 1

a_{n} =

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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