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5e année secondaire - 2h

Cours : 5e année secondaire - 2h > Chapitre 1

Leçon 2: Ajustement linéaire : Droite de régression

Résumé : la régression linéaire

L'ajustement linéaire consiste à tracer une droite qui passe au plus près des observations d'un nuage de points. Cette droite est ensuite utilisée pour faire des prévisions.

Qu'est-ce la régression linéaire ?

Lorsque le nuage de points associé à une série statistique double a une forme "allongée " c'est-à-dire lorsque les points sont sensiblement alignés, on peut tracer des droites passant « au plus près de ces points ». On dit alors que chacune de ces droites réalise un ajustement affine du nuage de points.

la vidéo.

Droite d'ajustement : méthode des moindres carrés

De nombreuses droites ajustent le nuage de points. L'ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés consiste à déterminer la droite d'ajustement passant par le point " moyen ".

exercice

Quelle droite ajuste au mieux le nuage de points suivant ?

(Choix A)
start color #ca337c, start text, A, end text, end color #ca337c
(Choix B)
start color #e07d10, start text, B, end text, end color #e07d10
(Choix C)
start color #1fab54, start text, C, end text, end color #1fab54
(Choix D)
Aucune

la vidéo.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Utilisation de la droite des moindres carrés pour estimer ou prévoir

Lorsqu'on a déterminé une équation de la droite des moindres carrés, il est possible de prévoir ou d'estimer une situation non associée à un point du nuage.

Exemple : Établir l'équation de la droite d'ajustement

Ci-dessous, le nuage de points et la droite d'ajustement associés à la série-double dont les variables sont le pourcentage d'Américains qui fument et le nombre d'années écoulées depuis 1967. Ce nuage de points ne présente pas de valeurs aberrantes et suggère une relation linéaire négative entre les deux variables.

Déterminer une équation de la droite d'ajustement.

1 - On calcule le coefficient directeur de la droite d'ajustement.

Cette droite passe par les points dont les coordonnées sont left parenthesis, 0, space, ;, space, 40, right parenthesis et left parenthesis, 10, space, ;, space, 35, right parenthesis. Son coefficient directeur est donc start fraction, 35, minus, 40, divided by, 10, minus, 0, end fraction, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction.

2 - On détermine l'ordonnée à l'origine.

Par lecture graphique, on en déduit que l'ordonnée à l'origine est 40.

3 - On établit l'équation y, equals, m, x, plus, b.

L'équation est y, equals, minus, 0, comma, 5, x, plus, 40

En déduire une estimation du pourcentage de fumeurs en 1997.

Pour estimer le pourcentage de fumeurs en 1997, on remplace x par 30 (1997 est la trentième année à partir de 1967 ) dans l'équation obtenue :

\begin{aligned}y&=-0{,}5x+40\\\\ y&=\left(-0{,}5\right)×(30)+40\\\\ y&=-15+40\\\\ y&=25\end{aligned}

D'après cette approximation, environ 25, percent des adultes fumaient en 1997.

exercice

Jacob a demandé à ses camarades de classe combien d'heures ils avaient passé la veille à faire du sport (variable x). Il leur a aussi demandé d'attribuer une note entre 0 et 10 à leur humeur du jour où 10 correspond à une excellente humeur (variable y). On donne le nuage de points associé à la série double des données récoltées et la droite de régression de y en x.

Déterminer l'équation de la droite d'ajustement.

Déduire de la droite d'ajustement une estimation de la note de l'humeur du jour d'un élève qui a passé 2, comma, 5 heures à faire du sport la veille.
Arrondir la réponse au centième.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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