Si vous voyez ce message, cela signifie que nous avons des problèmes de chargement de données externes.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Contenu principal

Une explication à la Loi de Benford

. Créé par Sal Khan.

Vous souhaitez rejoindre la discussion ?

  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Vincent Bourhis
    Les constantes physiques sont souvent des nombres qui sont le produit de processus naturels ou de mesures expérimentales, et non des nombres arbitraires choisis par des humains.Ces processus naturels ont souvent des distributions logarithmiques.
    (1 vote)
    Default Khan Academy avatar l'avatar de l’utilisateur
Vous comprenez l'anglais ? Cliquez ici pour participer à d'autres discussions sur Khan Academy en anglais.

Transcription de la vidéo

dans la dernière vidéo je t'ai parlé de ce mystère qui vient de la loi de benford où on avait pris des nombres qui viennent du monde réel et on avait pris le premier chiffre de ces nombres et en regardant la fréquence d'apparition de des différents chiffres alors de 1,9 on a vu que 1 et 2 apparaissent plus souvent que les autres par exemple en prenant le premier chiffre venant des populations des pays du monde ou en prenant le premier chiffre des diverses constante physique et bien le un parent est environ 30% du temps et le 2 apparaît environ 17% du temps et j'aurais pu te montrer d'autres graphique d'ailleurs on aurait pu regarder des données qui viennent qui viennent du marché des actions dès qu'ils viennent des marchés financiers on aurait observé ce même type de fréquences ce même type de distribution 1 et 2 apparaissent plus souvent mystère et ensuite donc jeté montrer la loi de benford à seebach verte donc qui sont dérivées purement de mathématiques et on a vu que la suite de fibonacci ou la suite des puissances de 2o des puissances de n'importe quel autre nombre suivent aussi cette loi de benford est cette fois très exactement très exactement et donc jeté proposer ce défi de d'y réfléchir et le premier un disque tu aurais dû remarquer en faisant le lien peu entre les deux dernières vidéos c'est ce nombre de 30 % ça aurait dû te titiller ce nombre de 2 30% qui apparemment à la fréquence d'apparition du chiffre un et tu peux tu aurais dû te souvenir que dont il ya deux vidéos j'étais montrer comment est-ce qu'on obtenait le nombre de à partir du nombreux 1 sur l'échelle logarithmique c'est en faisant log base 10 2 2 pour connaître la longueur du segment à parcourir en fonction du segment pour pour aller jusqu'à 10 et on a vu qu'il s'agissait environs de 30 % de la taille du segment pour aller de 1 à 10 ce 30% qui apparaît dans deux endroits dans la loi de benford pour obtenir la fréquence d'apparition du chiffre 1 comme premiers chiffres significatifs et aussi comme la taille du segment à parcourir sur l'échelle logarithmique pour aller de 1 à 2 donc ici on a la taille de ce segment qui correspond à 30% de ce segment et on a ce 30% qui apparaît ici dans la dans la loi de benford ensuite on a la taille de ce segment qui correspond à 17,6 pour cent de ce même segment et on a ce 17,6 pour cent qui apparaît ici et c est ça marche pour tous les tous les autres toutes les autres fréquences ce pourcentage la correspond aussi à cette fréquence d'apparition du 3 ce pourcentage la la taille du segment entre 4 et 5 c'est aussi la fréquence d'apparition de 4 en tant que premiers chiffres significatifs de la suite des deux puissances n alors à présent une explication à ce phénomène comment ça se fait que ça marche par exemple pour la suite des deux puissances n 1 allons-y plaçons les deux puissances n sur une échelle logarithmique et voyons ce qui se passe depuis 100 01 de puissance 1 2 ensuite on est à 4 8 16 à peu près ici 32 à peu près la 64 40 50 60 ici on est à 64 128 on a à peu près là etc etc on pourra on pourrait continuer mais tu comprends le principe à chaque fois on parcourt ce segment de même longueur pour multiplier par deux pour multiplié notre nombre par deux et on va de 16 à 32 puis à 64 puis à 128 etc et imagine que tu es en train de faire ça en fait tu sais comme une marche en fait en train de marcher la sueur sur un trottoir avec des pas égaux et il ya à côté de toi une échelle logarithmique qui est qui qui est à côté de tes enfin qui est sur le bord du trottoir et en marchant comme ça pendant une très longue durée eh ben tu peux imaginer que tu aura beaucoup plus de chance de tomber sur des blocs de cette taille là de manière générale si tu prend en compte tous les pas que tu as fait depuis le début que des blocs de cette petite taille là mais voilà ce qui se passe avec les deux puissances elle en fait c'est que effectivement on va on va avoir une manière assez à lattes aléatoire de faire apparaître un deux ou trois comme comme premiers chiffres significatifs mais a beaucoup plus de chances d'apparaître parce que 1 prend plus de place sur l'échelle logarithmique donc là si je fais des pas aléatoire et ben j'ai plus de chance de tomber sur des endroits il ya plus de place c'est logique donc voilà une explication logique à ce phénomène ce cette loi de benford pour les lois pour ses suites purement mathématique pour la suite de fibonacci c'est un peu plus difficile à expliquer d'ailleurs personnellement je ne vois pas trop comment ça se fait ensuite pour lier ça à des à ce qu'on voit dans le monde réel par exemple à la population des pays alors ça il fallait un peu faire de recherches et j'ai en effet en fait il s'avère que la loi de benford s'applique plutôt bien à tous à tous qu'il ya une une variation exponentielle donc les vu que les pays de manière générale les populations ont une croissance exponentielle d'habitude elles ont une croissance par exemple de 3 % ou 2 ou 2 5% par an que sais-je mais en tout cas elle croise un certain pourcentage par an et pas d'un certain nombre parents et tout ce qui à ce genre de comportement je dirais et bien suis assez bien la loi de benford donc ça donc ça marche aussi par exemple pour tout ce qui est la progression des prix des sur les marchés financiers de divers actifs et par contre pour ce qui est du premier chiffre significatif des constantes en physique alors là je t'avoue ne pas avoir d'explication pour moi ça reste un mystère je te défie d'ailleurs d'essayer de trouver une explication et donc voilà en résumé la loi de benford qui qui donc nous dit que un appareil plus souvent que deux qui a paru un peu plus souvent que trois etc et qui suit cette courbe verte on a une explication assez logique finalement 2 pourquoi ça marche pour les pour les suites de puissance et pour tout ce qui a une croissance exponentielle