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Heure actuelle :0:00Durée totale :5:31

Démontrer qu'une suite est convergente

Transcription de la vidéo

dans une vidéo précédemment on avait étudié cette suite cette suite qui est défini comme - un puissant scène + 1 x 1 sur rennes donc elle est représentée là donc les premiers points c'est un moins un demi un tiers moins un quart un cinquième etc donc elles oscillent en fait autour de zéro et on avait on avait affirmé que la limite de cette suite c'était zéro ce que je te propose dans cette vidéo c'est de le prouver rigoureusement en utilisant la définition qu'on vient de voir la définition de la convergence d'une fuite la définition de la limite quand rennes tend vers l'infini d'une suite alors pour rappel qu'est ce que c'est que cette définition pour toute valeur de epsilon donc pour toutes si lon positif il existe une valeur de m positiver aussi tels que si elle est supérieure strictement à grand m alors la distance entre la suite et la limite est plus petit que cet épisode alors comment est ce qu'on peut comment est-ce qu'on peut montrer ça on va déjà ici ce qu'on veut montrer un on l'a déjà on l'a déjà dit c'est que la limite quand elle tend vers l'infini de cette suite à n est égal à zéro donc on l'avait expliqué dans une vidéo ça ça tend vers zéro et ça c'est juste un nombre qui vaut 1 - 1 mais quoi qu'il en soit qui vaille 1 - 1 c'est un nombre fini on le multiplie par une fonction qui tend vers zéro donc ça donne zéro mais là ici on va le prouver donc ce qu'on veut c'est on peut partir de la n1 - elle est plus petite que pilote sachant que ici nous on sait que l vos héros en présumant tout ce qu'on veut montrer c'est que à n est plus petit que epsilon alors je peux l'exprimer donc c'est la valeur absolue de -1 puissance n + 1 sur aisne clotide silano alors ça à quoi ses équivalents donc la valeur absolue tout ça - un puissant scène +1 la valeur absolue de cette partie la c1 ce que - un puissant scène plus un savon soit 1 soit -1 donc la valeur absolue de 1 c'est un évidemment la valeur absolue de -1 c'est un donc ça ça devient et nbn ici c'est que des nombres positif puisqu'on a défini la suite avec des aides allant de 1 à l'infini donc c'est que des nombres positif donc la valeur absolue de haine et tout simplement n donc 1 / n est plus petit que pilote ça on peut écrire que ses équivalents à une autre inégalité en inversant cette inégalité donc si je l' inverse je vais non plus à voir un psy lon plus petit que plus grand pardon que 1 sur rennes mais je vais avoir n j'inverse leucine plus grand que 1 sur le psig ont alors maintenant si je fais le bilan et que je remonte tout les toutes les étapes à chaque fois il y avait des équivalences la première équation inéquation inégalités étaient égales à la deuxième qui était pardon la première inégalité est équivalente à la deuxième qui est équivalente à la troisième qui est équivalente qui impliquait la quatrième est donc finalement on arrive ici à peine supérieur strictement à 1 sur elle donc si on a petit n supérieur à 1 sur le pilote alors on a ça à n - la limite ça féret rennes puisque on est parti de là maintenant on regarde ici ce qu'on veut on veut que pour toute valeur de l'epsilon il existe grands thèmes supérieur à 0 tels que si petit n est supérieur à grains m alors on se retrouve avec cette inégalité or là on vient d'écrire que six petites haines et supérieur strictement à 1 sur epsilon on va avoir cette inégalité donc là on s'aperçoit qu'en fait le grand m il est là donc en utilisant grand m est égal à 1 sur pylône et bien on a prouvé l'existence de la limite quand elle tend vers l'infini de à m et on a vu que cette limite c'est bien zéro puisque là j'ai remplacé grand elle part 0 donc voilà on vient de prouvez rigoureusement que la limite de la suite vos héros c'est à dire que la suite convergent vers zéro