If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal

5e année secondaire - 4h

Chapitre 2 : Leçon 19

Calcul de dérivées

Dérivée du quotient de deux fonctions - Savoirs et savoir-faire

Pour vérifier si vous avez bien compris et mémorisé.

La formule de dérivation d'un quotient

Elle permet de calculer la dérivée d'un quotient.
open bracket, start fraction, f, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction, close bracket, prime, equals, start fraction, open bracket, f, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, prime, times, g, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, times, open bracket, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, prime, divided by, open bracket, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, squared, end fraction
On fait la différence du produit de la dérivée de f, left parenthesis, x, right parenthesis par g, left parenthesis, x, right parenthesis et du produit de la dérivée de g, left parenthesis, x, right parenthesis par f, left parenthesis, x, right parenthesis et on divise par open bracket, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, squared.

A quoi sert cette formule ?

Exercice 1

Soit la fonction x, ↦, start fraction, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, squared, end fraction.
=(sinxx2)=(sinx)x2sin(x)(x2)(x2)2=cos(x)×x2sin(x)×2x(x2)2 =x(xcos(x)2sin(x))x4=xcos(x)2sin(x)x3\begin{aligned} &\phantom{=}\operatorname{}\left(\dfrac{\sin x}{x^2}\right)' \\\\ &=\dfrac{\operatorname{}(\sin x)'x^2-\sin(x)\operatorname{}(x^2)'}{(x^2)^2}&&\gray{\text{}} \\\\ &=\dfrac{\cos(x)\times x^2-\sin(x)\times 2x}{(x^2)^2}&&\gray{\text{}\operatorname{}\text{ }} \\\\ &=\dfrac{x\left(x\cos(x)-2\sin(x)\right)}{x^4}&&\gray{\text{}} \\\\ &=\dfrac{x\cos(x)-2\sin(x)}{x^3}&&\gray{\text{}} \end{aligned}

À vous !

Exercice 1
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, squared, divided by, e, start superscript, x, end superscript, end fraction
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Exercice 2

On donne :
xf, left parenthesis, x, right parenthesisg, left parenthesis, x, right parenthesisf, prime, left parenthesis, x, right parenthesisg, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
4minus, 4minus, 208
H est la fonction telle que, pour tout x, H, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, f, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction. Calculer H, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis.
H, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, open bracket, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, squared, end fraction, donc H, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, start fraction, f, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis, g, left parenthesis, 4, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, 4, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis, divided by, open bracket, g, left parenthesis, 4, right parenthesis, close bracket, squared, end fraction. On obtient :
H(4)=f(4)g(4)f(4)g(4)[g(4)]2=0×(2)(4)×8(2)2=324=8\begin{aligned} H'(4)&=\dfrac{f'(4)g(4)-f(4)g'(4)}{[g(4)]^2} \\\\ &=\dfrac{0×(-2)-(-4)×8}{(-2)^2} \\\\ &=\dfrac{32}{4} \\\\ &=8 \end{aligned}

À vous !

Exercice 1
xg, left parenthesis, x, right parenthesish, left parenthesis, x, right parenthesisg, prime, left parenthesis, x, right parenthesish, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
minus, 241minus, 12
F, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, g, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, h, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction
F, prime, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.