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Démonstration de la formule de dérivation de la fonction racine carrée

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo va dériver la fonction racine carrée donc je vais prendre la fonction f 2 x qui est défini comme ça fdx ses racines carrées de x alors le nombre dérivés de f auprès d'abc 6 et bien je te rappel c'est la limite camp delta x tend vers zéro du taux de variation de la fonction f au point d'abc 6 alors je vais exprimer le taux de variation de la fonction f je vais l'appeler t2 x c'était 2 x le taux de variation auprès d'abc six essais f 2 x + delta x - f2 x le tout divisé par deltaïques ça c'est vraiment la définition du taux de variation 1.966 de la fonction f et ici ça nous donne alors f 2 x + deltaïques c'est bien ses racines carrées 2x plus delta x - f2 x qui est racine carrée de x et tout ça je dois / delta x alors ici on serait tenté de d'essayer de calculer directement la limite de 7 de ce taux de variation qu'on vient d'exprimer ici mais si tu regardes bien ce qui se passe en fait le racine carrée 2x plus delta x quand elle taïx d'anvers 0 eh bien ça va tendre racine carrée 2x et puis on a aussi ce mois racine carrée 2x donc le numérateur va tendre à 0 est le dénominateur aussi donc on obtient une forme indéterminée et du coup si on veut arriver à calculer cette limite et bien il faut faire quelque chose il ya une astuce à trouver et l'astuce c'est en fait une astuce assez classique c'est que je vais multiplier par la quantité conjuguées de ce numéro teurs qui est ici alors la quantité conjuguer ce que j'appelle la quantité conjuguer c'est ici j'ai racine carrée 2x plus delta x - racine carrée de x et la quantité conjuguer ses racines carrées 2x plus delta x plus racine carrée de x donc si je multiplie en eau par cette quantité conjuguer donc racine carrée de x + delta x plus racine carrée de x alors évidemment si je ne fais que x cette quantité là et bien je vais changer le taux de variation ce que je ne peux pas faire donc il faut que je multiplie pas un ce qui veut dire que je vais multiplier le numérateur par cette quantité mais divisé aussi par cette quantité là donc je vais multiplier en fait par un voilà ça c'est égal à 1 donc là je rien changer au taux de variation des ce qui va se passer c'est que je vais obtenir une expression plus simple du numérateur parce qu'ici en fait ce que j'obtiens c'est une identité remarquable l'identité apport remarquable jusque là rappelle ici si j'ai a + b x à - b a + b x a moins baissé est égal à au carré - b au carré alors ici je peux dire que ça c'est à et sa cb racine carrée de xcb et racine carrée de x + delta xc à est donc ce que j'obtiens maintenant au numérateur ca au carré - b au carré alors à au carré ses racines carrées 2x plus delta x élevée au carré donc c'est x + delta x puis moimbé au carré qui est moins racine carrée 2x élevée au carré c'est à dire moins x tu vois qu'on a réussi à transformer le numérateur de notre fraction en quelque chose de beaucoup plus simple par contre il faut diviser par le dénominateur qui lui va être beaucoup plus compliqué alors c'est ce produit-là delta x x racine carrée 2x plus delta x donc delta x x racine carrée x + delta x ça c'est tel taïx fois cette arme la plus delta x x racine carrée 2x donc plus racine carrée de x x tel taïx voilà alors au numérateur g si j'enlève les parenthèses gse x qui va ce nul est avec ceux - x donc au numérateur il ne me reste que delta x et puis au dénominateur je peux factoriser delta x je vais faire directement delta x factor de racine carrée 2x plus delta x plus racine carrée de x voilà alors là on est bientôt au bout de nos peines puisque déjà c'est delta x-ponts se simplifier et ce qui va me rester c'est un sur racine 2x plus delta x plus racine de x voilà alors tu vas voir on peut maintenant calculer la limite de ce taux de variation beaucoup plus simplement genre montrent un tout petit peu donc la limite camp delta x tend vers zéro de notre taux de variation t2 x eh bien c'est la limite camp delta x tend vers zéro 2 1 sur ça c'est 1,1 sur racine carrée 2x plus delta x plus racine carrée de x voilà alors quand elle texte en vers zéro le numérateur est égale à 1 de toute façon est par contre dénominateur ce qui est intéressant maintenant c'est que ce terme la racine carrée 2x plus delta x eh bien il tend à racine carrée 2x donc finalement la limite quand deltaïques ce temps vers 02 cette fraction et bien c'est un sur racine de x plus racine de x c'est-à-dire en fait un sur deux fois racines de x voilà et donc ce qu'on vient de démontrer c'est que la dérive et je vais l'écrire ici la dérive et de racine carrée de x la fonction racine carrée et bien c'est un sur deux fois racine carrée de x ça c'est le résultat principal de cette vidéo on a calculé cette dérive est là en repassant par le taux de variation mais si tu veux ce qui est intéressant de remarquer pour relier sa la vidéo précédente c'est que cette fonction la racine carrée 2x et bien en fait c'est x puissance 1/2 xlv à la puissance 1/2 donc en fait c'est une fonction puissance et si je veux calculer sa dérivée eh bien je vais pouvoir utiliser la formule de la fonction puissance avec n égale 1/2 un cx élevé à la puissance un demi et je pense que maintenant tu te souviens de la formule vient à dériver 2x élevé à la puissance ncn fois xlv à la puissance n - 1 donc ici n est égal à 1 2 me ce qui veut dire que je vais avoir un demi x x élevé à la puissance 1/2 - za alors ici j'ai ce1 de michela x under ici c'est un multiplier on dirait un x mais ça ça c'est un produit alors ici gx élevé à la puissance 1 2 me -1 2 me -1 ça fait moins un demi s'élever à la puissance - 1/2 et xlv à la puissance - 1/2 en fait c'est un sur racine 2x donc finalement ce que j'obtiens c'est un sur deux fois racines de x et hey tu vois qu'on retrouve le même résultat que tout à l'heure et ça c'est un exemple qui te permet de comprendre que finalement la formule de la dérivation des fonctions puissance qu'on avait démontré pour des valeurs entière de l'exposant et bien en fait elle est valable pour n'importe quelle valeur réelle de l'exposant à bientôt