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# La formule de dérivation d'une fonction composée

L'explication de la formule.

## Introduction

Si u et v sont deux fonctions, par exemple telles que u, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared et v, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, on sait calculer la dérivée de leur somme :

Formule :start fraction, divided by, end fraction, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, v, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, prime, equals, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, v, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
Exemple :start fraction, divided by, end fraction, left parenthesis, x, squared, plus, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, prime, equals, 2, x, plus, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis
et de leur produit :

Formule :start fraction, divided by, end fraction, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, v, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, prime, equals, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, v, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, u, left parenthesis, x, right parenthesis, v, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
Exemple :start fraction, divided by, end fraction, left parenthesis, x, squared, times, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, prime, equals, 2, x, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, x, squared, times, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis
La dérivée de la composée u suivie de f est :

Formule :start color #0c7f99, start fraction, divided by, end fraction, left parenthesis, f, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, prime, equals, f, prime, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #0c7f99
Exemple :start color #0c7f99, start fraction, divided by, end fraction, open bracket, left parenthesis, sine, x, right parenthesis, squared, close bracket, prime, equals, 2, sine, x, cosine, x, end color #0c7f99

## Pour expliquer cette formule, on utilise un artifice

Attention : Pour les besoins de la cause et pour présenter cet artifice, on obligé d'utiliser la notation d, slash, d, x qui signifie "dérivée par rapport à x".
Au lieu d'écrire left parenthesis, x, squared, right parenthesis, prime, equals, 2, x, on écrit :
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, equals, 2, x
Si la variable était a, on écrirait :
start fraction, d, divided by, d, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, right parenthesis, equals, 2, start color #11accd, a, end color #11accd
L'artifice est de remplacer x par une fonction. On obtient, par exemple :
start fraction, d, divided by, d, left parenthesis, start color #11accd, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, right parenthesis, end fraction, left parenthesis, start color #11accd, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, right parenthesis, squared, equals, 2, start color #11accd, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd
start fraction, d, divided by, d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, end fraction ne veut rien dire ! Mais si on le multiplie par start fraction, d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, divided by, d, x, end fraction (qui signifie la dérivée de sin x par rapport à x), alors on peut simplifier par d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis et on obtient :
start fraction, d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, squared, divided by, start cancel, d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, end cancel, end fraction, times, start fraction, start cancel, d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, end cancel, divided by, d, x, end fraction, equals, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, squared
A priori, mathématiquement cela ne tient pas debout, car "d, x" et "d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis" ne sont ni des nombres, ni des expressions. Pour tenter une justification il faut faire appel à des notions qui dépassent largement le cadre de la question traitée ici. Donc il faut considérer cela comme un moyen mnémotechnique. L'intérêt est que cette écriture de start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, squared permet de trouver la dérivée de left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, squared par rapport à x :
\begin{aligned} \large \dfrac{d}{dx} (\sin(x))^2 = \underbrace{\dfrac{d(\sin(x))^2}{d(\sin(x))}}_{ \operatorname{}{\blueE{ \text{} \\ \text{\operatorname{} \operatorname{}} }}} \times \underbrace{\dfrac{d(\sin(x))}{dx}}_{ \operatorname{}{\greenE{ \text{} \\ \text{\operatorname{}} }}} = \blueE{2\sin(x)} \times\greenE{\cos(x)} \end{aligned}
Les choses sont beaucoup plus claires si f et u sont des fonctions quelconques et non pas la fonction carrée et la fonction s, i, n, u, s. On obtient la formule qui se lit "la dérivée de f, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis par rapport à x est égale au produit de la dérivée de f par rapport à u par la dérivée de u par rapport à x" :
start box, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, f, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, start fraction, d, f, divided by, d, u, end fraction, times, start fraction, d, u, divided by, d, x, end fraction, end box

## Exemple 1 :

\begin{aligned} f(x) &= \sin(x^2) \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ u(x) &= x^2 \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ f &= \sin u \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ \operatorname{}f'(x) &= \frac{}{}\text{(dérivée de f par rapport à u)} \times \operatorname{} u' \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ \operatorname{}f'(x)&=\frac{}{}\text{(dérivée de \sin u par rapport à u)} \times\operatorname{}\text{dérivée de x^2 par rapport à x} \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ \operatorname{} f'(x)&= \cos u \times 2x \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ \operatorname{}f'(x) &= \cos(x^2)×2x \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ \end{aligned}

## Exemple 2 :

On va utiliser cette formule pour calculer la dérivée de la fonction vertical bar, x, vertical bar, que l'on peut considérer comme une fonction composée car pour tout x réel, vertical bar, x, vertical bar, equals, square root of, x, squared, end square root. Par exemple, vertical bar, minus, 5, vertical bar, equals, square root of, left parenthesis, minus, 5, right parenthesis, squared, end square root, equals, square root of, 25, end square root, equals, 5
\begin{aligned} f(x) &= \left|x\right| \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ f(x) &= \sqrt{x^2} \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ u(x) &= x^2 \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ f(x) &= [u(x)]^\frac{1}{2} \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ \operatorname{}f'(x) &= \operatorname{}f'(u) \times \operatorname{}u'(x) \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \operatorname{}(u^\frac{1}{2})' \times\operatorname{}(x^2)' \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ \operatorname{}f'(x) &= \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}} \times 2x \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ \operatorname{}f'(x) &= \frac{1}{2}\left(x^2\right)^{-\frac{1}{2}} \times 2x \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ \operatorname{}f'(x) &= \frac{x}{\sqrt{x^2}} \quad \quad \small{\gray{\text{}}} \\ & \\ \operatorname{}f'(x) &= \frac{x}{\left|x\right|} \quad \quad \small{\gray{\text{}\operatorname{}}} \\ & \\ \end{aligned}

## La dérivée de la composée d'un nombre quelconque de fonctions

La formule s'applique à la composée de plus de deux fonctions. Par exemple, soient A, B, C et D quatre fonctions, et soit f la composée de ces quatre fonctions :
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, A, left parenthesis, B, left parenthesis, C, left parenthesis, D, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, right parenthesis
Ici encore la notation start fraction, d, divided by, d, x, end fraction est très utile. On démontre que :
start fraction, d, f, divided by, d, x, end fraction, equals, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, A, left parenthesis, B, left parenthesis, C, left parenthesis, D, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, right parenthesis, equals, start fraction, d, A, divided by, d, B, end fraction, times, start fraction, d, B, divided by, d, C, end fraction, times, start fraction, d, C, divided by, d, D, end fraction, times, start fraction, d, D, divided by, d, x, end fraction
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis s'écrit :
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, A, prime, left parenthesis, B, left parenthesis, C, left parenthesis, D, left parenthesis, X, right parenthesis, right parenthesis, right parenthesis, right parenthesis, times, B, prime, left parenthesis, C, left parenthesis, D, left parenthesis, X, right parenthesis, right parenthesis, right parenthesis, times, C, prime, left parenthesis, D, left parenthesis, X, right parenthesis, right parenthesis, times, D, prime, left parenthesis, x, right parenthesis

## Exemple 4 :

Soit f la fonction définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, e, start superscript, x, squared, plus, x, end superscript, right parenthesis.
f est la composée des fonctions C, B et A, avec :
\begin{aligned} A(x) &= \blueE{\sin x}\\ B(x) &= \greenE{e^x} \\ C(x) &= \redE{x^2 + x} \end{aligned}
Leurs dérivées sont ;
\begin{aligned} A'(x) &= \blueE{\cos x}\\ B'(x) &= \greenE{e^x} \\ C'(x) &= \redE{2x + 1} \end{aligned}
On applique la formule :
\begin{aligned} f'(x) &= A'(B(C(x))) \times B'(C(x)) \times C'(x) \\ & \\ &= \boxed{\large \blueD{\cos}(e^{x^2 + x}) \times \greenD{e}^{x^2 + x} \times \redD{(2x + 1)}} \end{aligned}

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