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Propriétés des dérivées et dérivée d'une fonction polynôme

Transcription de la vidéo

alors on commence à savoir pas mal de choses normalement si tu vu les vidéos précédentes de la khan academy tu dois savoir pas mal de choses sur le calcul des dérivés alors dans cette vidéo on va essayer de comprendre comment est-ce qu'on peut calculer la dérivée d'un polynôme alors je vais prendre une fonction f 2 x qui va servir d'exemples qui est un polynôme donc c'est on va dire 2x au cube 2x au cube - 7 x au carré + 3 x - sens voilà ça c'est un polynôme on pourrait prendre n'importe quel autre polynôme alors on va essayer de trouver l'expression de la dérivée de cette fonction f et pour ça on va regarder de quoi être composé cette fonction c'est un polynôme donc on a des xlv à des certaines puissances xo cubix au carré x on a des constantes aussi ici moins 100 et puisqu'on a aussi ses démultiplication des puissances alors on va commencer par se rappeler un petit peu tout ce qu'on sait sur les calculs de dérivés alors peut-être la première chose à dire ça concerne la dérive et des fonctions constante fonction constante et bien dans ce cas là donc si tu prends c'est une constante c'est une constante et bien ce qu'on peut dire c'est que la dérivée d'une constante ces primes est égal à zéro alors pourquoi est-ce que ça c'est vrai si tu veux on peut rapidement faire un petit dessin pour le pour bien comprendre je prends un repère donc ici c'est l'axé des ordonnées et ici c'est l'ex dx et si je prends une fonction constante fdx égal c'est un nombre c est bien ça représentation graphique ça va être une droite horizontale voilà comme ça ça c'est la droite d'équations y égal c'est alors évidemment c'est une droite horizontale ce qui veut dire que quand je me déplace sur cette courbe et bien j'ai une variation des abscisses deltaïques ce qui va changer mais par contre j'ai aucune variations désordonnées delta y est égal à zéro puisque tous les points de cette droite on l'a même ordonné donc delta y est égal à zéro ce qui veut dire que la tangente à cette courbe là est déjà une droite donc la tangente ça sera elle même et bien c'est une droite de coefficient directeur nul donc la dérive et de cette fonction là eh bien elle est égale à zéro alors ce qu'on sait aussi c'est le calcul il a dérivé d'une fonction puissance calculer la dérive et d'une fonction puissance alors on avait vu cette formule là si je prends la fonction x élevé à la puissance n est que je veux calculer sa dérive et donc xlv à la puissance n prime et bien c n x x élevé à la puissance n - l'exposant descend devient facteur multiplicatif et ensuite l'exposant lui-même est diminuée de une unité alors autre chose qui peut être important c'est de voir ce qui se passe quand on multiplie une fonction par un nombre par un scalaire un nombre réel donc je vais écrire ça comme ça produit par un scalaire donc je vais prendre une fonction est fin et je vais la x une constante cas j'appelle cas est ce que je peux dire c'est que la dérive et de cette fonction-là de cette nouvelle fonction qu'à fois f donc af prime eh bien ça va être qu'à fois f prime donc qu'à fois la dérive et 2f qui veut dire que x une constante et bien pour calculer sa dérive et il suffit que je sache calculer la dérive et 2f et ensuite je multiplie par la constante donc ces deux propriétés là vont être très utile parce que par exemple si je veux calculer la dérive et de 2x puissance 3 eh bien ça je sais que c'est deux fois la dérive et 2x au cube et comme la dérive et 2x occupe je peux la calculées à partir de cette formule là et bien ce que j'obtiens ces deux fois donc la dérive et de lixhe occupe c'est 3 x x élevée au carré 2 x 3 x au carré et donc j'obtiens cette formule-là 6x au carré ça c'est la dérive et de 2x occupe voilà donc tu vois que ça c'est déjà pas mal en fait là avec ces trois règles on peut dériver cette partie là on peut dériver cette partie là on peut dériver cette partie là et aussi cette partie là ce qui nous manque c'est de comprendre comment est-ce qu'on peut dériver une somme ou différence de fonction alors je vais noter une dernière propriété c'est la dérivation d'une somme de fonctions somme ou différence de fonction donc si je prends deux fonctions f et g je vais calculer leur somme f plus j'ai donc ce sera f 2 x + g2x et si je veux calculer la dérive et de cette fonction-là cette nouvelle fonction et bien en fait ça ça revient à calculer la dérive et 2f plus la dérive et 2g la dérivée de la somme d'une fonction c'est la somme des dérives et des fonctions impliquées voilà alors maintenant on a tout ce qu'il faut pour pouvoir calculer la dérive et de cette fonction donc je vais supprimer cette partie là pour faire de la place alors f primes de x est bien la première chose que je peux dire c'est que f 2 x est une somme de plusieurs fonctions il ya 2 x occupe plus - 7 x o car est plus 3 x - sens donc je vais pouvoir utiliser cette propriété là sur la somme des fonctions je vais pouvoir dire qu'en fait la dérive et 2f prime c'est la somme des dérivés de toutes les fonctions qui sont mis en jeu ici donc c'est la dérive et de 2,6 au cube plus la dérive est de - 7 x au carré plus la dérive et de 3x plus la dérive et de -100 la dérive et 2 - sens alors qu'est-ce qu'on peut faire tout de suite ça c'est la dérive et d'une constante donc ça c'est égal à zéro ici gélard dérivés de 3x donc d'après cette propriété là en fait ça va être trois fois la dérive et 2x donc ça c'est trois fois x la dérive et 2x exprime ici c'est la même chose je vais encore utiliser cette propriété là la dérive et de -7 xo caresser moins cette fois la dérive et 2x au carré et puis ce terme-là la dérive et de 2x occupe toujours en utilisant cette formule là et bien c'est deux fois la dérive et 2x au cube donc finalement f primes de x je vais leur écrire un peu plus proprement ces deux fois la dérive et 2x au cube - cette fois la dérive et 2x au carré plus trois fois la dérive et 2x moins 0 j'ai réécrit le moins 0 alors maintenant il faut que je calcule la dérive et 2x au cube je vais utiliser cette formule là c'est une fonction puissance et ici je suis dans le cas où n est égal à 3 donc la dérive et c'est 3 x x puissance 3 - 1 donc 3 x x o car est donc finalement ici j'ai deux fois ce que je viens de dire c'est 3 x x au carré 2 x 3 x au carré - cette fois la dérive et 2x au carré alors la dérive et 2x au carré je vais utiliser cette formule là puisque c'est une fonction puissance avec n égale 2 et donc la dérive et de xo caresser 2 x x puissance 2 - 1 donc en fait c'est 2 x 2 x x donc là j'ai ce moins 7 x 2 x ensuite plus trois fois la dérive et 2x alors là il ya un petit piège c'est que x en fait c'est x élevé à la puissance 1 donc c'est une fonction puissance donc je vais aussi utilisé cette formule là avec n égale 1 et donc la dérive et de xlv la puissance un dérivé de x c'est un x x élevé à la puissance 1 - 1 c'est-à-dire un x x élevé à la puissance 0 donc finalement la dérive et 2x et bien c'est un donc ici j'ai trois fois 1 - 0 alors maintenant je vais fermer simplification deux fois trois ça fait 6 donc ici j'ai 6 x au carré - 7 x 2 c'est-à-dire moins 14 x + 3 fois c'est à dire + 3 - 0 voilà donc ça c'est l'expression de la dérive et f prime dérivés de f l'expression de la dérive et f prime de cette fonction f qui est un polynôme et tu vois que avec ses quatre propriétés là en fait tu peut dériver n'importe quelle fonction polynôme