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Démonstration de la formule de dérivation de x puissance n

Transcription de la vidéo

bonjour je pense qu'on a suffisamment travailler maintenant avec les dérivés notamment avec les fonds que le dérivé des fonctions puissance on s'est suffisamment familiariser avec cette formule qui est écrite ici la dérivée de la fonction x puissance ncn x x et vers la puissance n monza on a travaillé avec cette formule on a même vu une vidéo dans laquelle on justifie en expliquer un petit peu pourquoi on avait cette formule alors je pense que le temps est venu de vraiment donner une démonstration de cette formule alors pour ça on va avoir besoin de la formule du binôme de newton donc ça il ya des vidéos de là dessus sur la khan academy ch s'engage à aller regarder si tu n'es pas au point là-dessus avant d'attaquer cette vidéo parce qu'on va s'en servir ici alors on va aborder le problème donc on sait que le nombre d'arrivées au point d'abc 6 est obtenue en faisant la en calculant la limite du taux de variation de la fonction au point d'abc 6 alors ici je vais commencer par exprimer le taux de variation de cette fonction donc en général quand on a une fonction af le taux de variation cf2 x + delta x - f2 x / delta x alors ici fdx cx puissance n donc f 2x plus delta x et bien c'est x + delta x élevé à la puissance n le taux élevé à la puissance n voilà et puis je dois soustraire f 2 x qui est égal à x élevé à la puissance n donc je divise tout ça par delta x ça c'est le taux de variation de la fonction x puissance n au point d'abc 6 alors maintenant ce que je vais faire c'est développer une au numérateur et pour ça effectivement je vais avoir besoin de la formule du binôme de newton puisque je dois développer ce binôme l'a élevé à la puissance x + delta x élevé à la puissance n alors il faut faire appel à ses souvenirs cette partie là donc je vais développer déjà cette partie ici c'est x élevé à la puissance n plus les combinaisons de un élément parmi n x x élevé à la puissance n - 1 x delta x ensuite je vais avoir les combinaisons de deux éléments parmi n x x puissance n - 2 x delta x au carré voilà peut-être que tu te rappelles ici le le motif ensuite je veux avoir les combinaisons de trois éléments parmi une fois xlv à la puissance n moins trois fois delta x élevé la puissance 3 et ainsi de suite jusqu à avoir le dernier élément qui et les combinaisons de haine éléments parmi n x x élevé à la puissance n moins zen c'est à dire zéro x delta x élevé à la puissance n voilà ça c'est cette partie là un cx plus delta x élevé à la puissance n que j'ai développée grâce à la formule du binôme de newton ensuite il faut que pour le numérateur il faut que j'oublie pas de soustraire x puissance n ici et puis maintenant je vais tout / delta x voilà alors maintenant il ya des choses qu'on peut simplifier tout de suite par exemple il ya ce x puissance n est ce moins six puissances n donc ces deux termes là vont s'annuler est ce qu'il reste en fait c'est tout ça et si on regarde le numérateur et bien on voit que c'est une somme de terme et dans chacun des termes il ya le facteur delta x donc on peut factoriser delta x une fois qu'on aura factoriser deltaïques c'est bien il va se simplifier avec ce delta x qui est là donc là il va me rester les combinaisons de un élément parmi n x x puissance n moins 1 fois delta x / delta x donc les deltas xxi simon se simplifier plus le nombre de combinaisons de deux éléments parmi n x x puissance n - 2 x delta x au carré / deltaïques c'est à dire qu'en fait je vais multiplier ici par delta x ensuite je vais avoir plus les combinaisons de trois éléments parmi n x x puissance n - 3 x delta x au cube / delta x donc ici je vais avoir je peux l'écrire si tu veux combinaison de trois éléments parmi n x x puissance n moins trois fois delta x au carré puisque c'est ce terme qui serait ici donc avec delta x au cube que je divise par delta x et il reste deltaïques soca et ainsi de suite je fais ça jusqu'au bout jeudi visent à chaque fois par delta x et le dernier terme que j'obtiens ce et les combinaisons de haine éléments parmi n x x puissance 0 qui est égal à 1 multiplier encore par delta x puissance n / deltaïques c'est-à-dire delta x puissance n - 1 voilà ça du coup j'ai obtenu une expression du taux de variation de la fonction alors effectivement ça peut faire un petit peu peur parce que c'est une sommation d'un certain nombre de termes donc c'est pas évident à manipuler et maintenant on va vraiment passé à la calculs de la dérive et du nombre dérivés auprès d'abc 6 et pour ça il faut que je prenne la limite de ce taux de variation camp delta x tend vers zéro donc il faut que j'écrive la limite camp delta x tend vers zéro de ce taux de variation acquis et donc toute cette expression là que je vais mettre entre crochets donc j'ai les combinaisons de haine éléments parmi 1 enfin d'un élément parmi elles pardon x x puissance n - un plus les combinaisons de deux éléments parmi elles x x puissance m moins deux fois delta x + ainsi de suite jusqu'au dernier terme qui et les combinaisons de un élément parmi n x delta x puissance n - 1 voilà je ferme le crochet donc je dois calculer cette limite la camp delta x tend vers zéro alors ici ça va être assez simple puisque en fait tous les termes qui contiennent un delta x vont tendre à 0 donc ce terme-là il tend à 0 ce terme là qui est ici il y aura un delta xo car il va tendre à zéro et tous ces termes là donc tous les termes en fait sauf le premier vont tendre à 0 donc finalement la limite de ce taux de variation et bien en fait c'est tout simplement les combinaisons de un élément parmi n x x puissance n - sa combinaison de un élément parmi elles x x puissance n - 1 alors évidemment il faut savoir exprimer maintenant ce coefficient binomiale lennon c'est à dire le nombre de combinaisons de un élément parmi eux n alors ça je vais l'écrire ici les combinaisons de un élément parmi n est bien c and factorielle / 1 factorielle x n -1 factorielle donc ici un factorielle c'est égal à 1 donc ça en fait c'est n factorielle sur aisne - 1 et en fait n factorielle cm x n - factorielle donc finalement ce quotient là il est égal à m et on retrouve un résultat assez connu et finalement on retrouve bien cette formule 1 puisque on obtient notre limite qui est égal à haisnes facteur 2 x puissance n - 1 voilà c'est bien la formule qui étaient écrites ici et tu vois que cette fois ci on m'a vraiment démontré cette formule de manière assez simple évidemment bon il ya des calculs à faire il faut connaître les le nombre des combinaisons des de certains éléments il faut connaître aussi la formule du binôme mais sinon c'est quand même pas trop trop compliqué à faire alors ça c'est vrai pour les nombres entiers n mais on verra dans d'autres vidéos que en fait cette formule est valable pour n'importe quelle valeur réelle de l'exposant particulier pour un exposant fractionnaire