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Équation d'une normale à la courbe représentative d'une fonction

Transcription de la vidéo

on te donne cette fonction f qui est f 2 x et hey à la puissance x sur x carey et on te demande l'équation de la normale de la courbe de f au point d'appui 6 est égal à 1 donc c'est quoi cette histoire de normal on ne demande pas de trouver la tangente mais la normale alors déjà la courbe de fl ressemble à peu près à ça aux alentours de x est égal à 1 et on te dis donc on qu'on s'intéresse au point d'apsys x est égal à 1 c'est ce point là que je vais appeler paix et qui a pour coordonner un et f21 très bien et la tangente en ce point p on sait qu'elle ressemble à ça voilà et qu'elle a pour coefficient directeur f prime de 1 donc ça c'est ce qu'on sait sur la tangente ensuite la normale donc peut-être que tu ne le sais pas encore mais la normale en ce point la normale de la courbe de f en ce point c'est la droite perpendiculaire à la tangente elle est perpendiculaire à la tangente elle passe par ce même point p donc déjà on connaît un point qui est sur la droite et quand je connais un point qui est sûre cette droite dont je cherche l'équation j'ai aussi besoin de connaître son coefficient directeur et alors là c'est quelque chose qui est assez facile à démontrer je peux le faire dans cette vidéo parce que ce n'est pas l'objectif principal mais le coefficient directeur d'une droite qui est perpendiculaire à une autre dont on connaît le coefficient directeur ici f prime de 1 et bien le coefficient directeur de cette droite perpendiculaire c'est moins 1 / f prime de 1 voilà la relation entre les coefficients directeur de deux droites perpendiculaire donc on a besoin de cette info pour résoudre le problème sachant qu'une fois que je connaîtrai une expression du coefficient directeurs et des coordonnées d'un point qui est sur la droite ça me suffit pour trouver l'équation d'une droite très bien donc il semble que on a plusieurs objectifs ici d'abord trouver f2 on va faire ça ça va me donner les coordonnées d'un point qui est sur ma normal donc f21 est égale à e puissance 1 / 1 au carré ça c'est tout simplement égale à e donc le point hop et de coordonner un e appartient à la normale je vais appeler cette normale n très bien donc j'ai déjà les coordonnées d'un point qui appartient la normale les coordonnées sont 1 e ensuite f primes de x alors d'abord je verrai exprimé f 2 x sous sous une forme qui me permet de trouver f primes de x plus facilement ce2 x x x à la puissance moins deux comme ça je vais utiliser plutôt la formule du produit que du quotient et c'est une formule qui est bien plus simple donc maintenant f primes de x je vais faire ça en verre s primes de x qui est le coefficient directeur de la tangente en un point d'abc 6 donc ça donc rappelle-toi de la formule du produit lorsque j'ai le produit de deux fonctions que jeune homme eut et v la dérive et de wc u prime devait plus huppés prix donc on va faire ça la dérive est depuis 106 et simplement et puissance x et j'ajoute à cela depuis 106 x la dérivée de l'expérience - 2 qui est moins 2 x x puissance moins trois très bien donc j'ai f prime de 1 qui est égale à e puissance 1 donc eu x 1 sur 1 au carré donc ça ça fait simplement un plus de puissance un donc ça fait e fois moins deux fois un à la puissance moins trois donc ça ça fait simplement un aussi donc j'ai eu moins de eux qui me fait moins eux très bien donc ça c'est le coefficient directeur de la tangente et le coefficient directeur de la normale c'est moins 1 / f prime de 1 qui est égal à - 1 / - eux donc un sur deux le moins / - c'est nul ça fait plus et il nous reste 1 sur eux donc maintenant j'ai le coefficient directeur de la normale et un point qui appartient à la normale ce qui veut dire que ma normal elle a une équation qui ressemble à y est égal à 1 sur le x x + b & b celle ordonnée à l'origine et comment est ce que je trouve leur donne à l'origine évincé en utilisant un point qui est sûre la normale du corps donné un e donc je sais que 1 est égal à part dont eux y est égal à eux donc l'ordonné de ce point est égal à 1 sur eux fois un + b donc b est égale à e - 1 sur eux en soustrayant assurer des deux côtés de l'équation donc ça y est j'ai mon coefficient directeur 1 sur raymond ordonna à l'origine e - 1 sur eux donc ça me donne quoi l'équation de la normale l'équation de la normale au point la normale de la courbe de fo point d'apsys x est égal à 1 c'est y est égal à 1 sur x x plus eu moins un sur eux et voilà la réponse finale on a réussi à trouver l'équation de la normale de f au point d'abc 6 est égal à 1